Comment reconnaître une matrice… : En vérifiant la condition sur les… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment reconnaître une matrice triangulaire, diagonale ou symétrique ?

En vérifiant la condition sur les coefficients ( $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , $a_{ij}=a_{ji}$ , etc.)

Classer une matrice carrée parmi les matrices triangulaires supérieures, inférieures, diagonales, symétriques ou antisymétriques.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Classer $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$ .

L'objectif

Classer une matrice carrée parmi les matrices triangulaires supérieures, inférieures, diagonales, symétriques ou antisymétriques.

Le principe

Pour $A=(a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : triangulaire supérieure si $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , inférieure si $a_{ij}=0$ pour $i<j$ , diagonale si $a_{ij}=0$ pour $i\neq j$ , symétrique si $a_{ij}=a_{ji}$ , antisymétrique si $a_{ij}=-a_{ji}$ .

La méthode

1
Je vérifie d'abord que $A$ est carrée (sinon ces notions n'ont pas de sens).
2
J'examine les coefficients sous la diagonale : s'ils sont tous nuls, $A$ est triangulaire supérieure.
3
J'examine les coefficients au-dessus de la diagonale : si tous sont nuls aussi, $A$ est diagonale.
4
Sinon, je teste la condition $a_{ij}=a_{ji}$ (symétrie) ou $a_{ij}=-a_{ji}$ (antisymétrie, diagonale nulle).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Classer $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je vérifie d'abord que

A

est carrée (sinon ces notions n'ont pas de sens).

$A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ est bien carrée.

Étape 2 —

J'examine les coefficients sous la diagonale : s'ils sont tous nuls,

A

est triangulaire supérieure.

Les coefficients $a_{21}=a_{31}=a_{32}=0$ sont tous nuls : condition $a_{ij}=0$ pour $i>j$ vérifiée.

Étape 3 —

J'examine les coefficients au-dessus de la diagonale : si tous sont nuls aussi,

A

est diagonale.

En revanche $a_{12}=2\neq 0$ : $A$ n'est pas diagonale.

Étape 4 —

Sinon, je teste la condition

a_{ij}=a_{ji}

(symétrie) ou

a_{ij}=-a_{ji}

(antisymétrie, diagonale nulle).

La symétrie échoue ( $a_{12}\neq a_{21}$ ), donc $A$ est uniquement triangulaire supérieure.

$A$ est triangulaire supérieure, ni diagonale ni symétrique.

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Comment reconnaître une matrice triangulaire, diagonale ou symétrique ?

En vérifiant la condition sur les coefficients (aij=0a_{ij}=0aij​=0 pour i>ji>ji>j, aij=ajia_{ij}=a_{ji}aij​=aji​, etc.)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant la condition sur les coefficients ( $a_{ij}=0$ pour $i>j$ , $a_{ij}=a_{ji}$ , etc.)