Comment calculer une puissance… : En conjecturant la forme de A^n à… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une puissance $A^n$ d'une matrice ?

En conjecturant la forme de $A^n$ à partir des premiers termes puis en la démontrant par récurrence

Obtenir une formule explicite pour $A^n$ en s'appuyant sur les premiers calculs.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Obtenir une formule explicite pour $A^n$ en s'appuyant sur les premiers calculs.

Le principe

On calcule $A^2, A^3,\ldots$ jusqu'à deviner une forme close, puis on démontre cette formule par récurrence sur $n\in\mathbb{N}$ .

La méthode

1
Je calcule $A^2$ , $A^3$ (et éventuellement $A^4$ ) pour observer une régularité.
2
Je conjecture une formule générale $A^n=M_n$ où $M_n$ dépend explicitement de $n$ .
3
Je rédige une récurrence : initialisation pour $n=0$ ou $n=1$ , puis hérédité $A^{n+1}=A\cdot A^n$ .
4
Je conclus : pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $A^n=M_n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je calcule

A^2

A^3

(et éventuellement

A^4

) pour observer une régularité.

$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ , $A^3=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je conjecture une formule générale

A^n=M_n

où

M_n

dépend explicitement de

n

Je conjecture $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je rédige une récurrence : initialisation pour

n=0

n=1

, puis hérédité

A^{n+1}=A\cdot A^n

Initialisation $n=0$ : $A^0=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Hérédité : $A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1\\0&1\end{pmatrix}$ .

Étape 4 —

Je conclus : pour tout

n\in\mathbb{N}

A^n=M_n

Donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ .

$A^n=\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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