Comment calculer une intégrale… : En trouvant une primitive et en passant… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer une intégrale impropre convergente ?

En trouvant une primitive et en passant à la limite aux bornes

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale généralisée convergente en exhibant une primitive.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

L'objectif

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale généralisée convergente en exhibant une primitive.

Le principe

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b[$ et si $\lim_{x\to b^-} F(x)=\ell\in\mathbb{R}$ , alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\ell-F(a)$ .

La méthode

1
On assure la convergence de l'intégrale (ou on la justifie par une méthode de comparaison).
2
On détermine une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle d'intégration (semi-ouvert ou ouvert).
3
On calcule les limites de $F$ aux bornes impropres et on écrit $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{y\to a^+} F(y)$ si les deux bornes sont impropres.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

On assure la convergence de l'intégrale (ou on la justifie par une méthode de comparaison).

$t\mapsto e^{-t}$ est continue et positive sur $[0,+\infty[$ ; la convergence sera visible au calcul.

Étape 2 —

On détermine une primitive

F

f

sur l'intervalle d'intégration (semi-ouvert ou ouvert).

Une primitive de $e^{-t}$ est $-e^{-t}$ , donc $\int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t=1-e^{-x}$ .

Étape 3 —

On calcule les limites de

F

aux bornes impropres et on écrit

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{y\to a^+} F(y)

si les deux bornes sont impropres.

Quand $x\to +\infty$ , $e^{-x}\to 0$ , donc $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t=1$ .

$\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t=1$ .

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