Comment montrer la convergence… : En étudiant la limite de int_a^x f(t)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer la convergence d'une intégrale impropre ?

En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$

Établir la convergence d'une intégrale impropre par étude directe de la limite des intégrales partielles.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale impropre par étude directe de la limite des intégrales partielles.

Le principe

Par définition, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie quand $x\to b^-$ .

La méthode

1
On repère la ou les bornes impropres de l'intégrale (borne infinie ou point où $f$ n'est pas définie / n'est pas continue).
2
On vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle semi-ouvert considéré, puis on introduit $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $x\in[a,b[$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
On calcule $F(x)$ à l'aide d'une primitive ou d'une majoration simple.
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On étudie $\lim_{x\to b^-} F(x)$ : si la limite existe et est finie, l'intégrale converge, sinon elle diverge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

Étape 1 —

On repère la ou les bornes impropres de l'intégrale (borne infinie ou point où

f

n'est pas définie / n'est pas continue).

La borne impropre est $+\infty$ , l'intégrande $t\mapsto 1/t^2$ est continue sur $[1,+\infty[$ .

Étape 2 —

On vérifie que

f

est continue sur l'intervalle semi-ouvert considéré, puis on introduit

F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t

pour

x\in[a,b[

Je pose $F(x)=\int_1^x \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ pour $x\geq 1$ .

Étape 3 —

On calcule

F(x)

à l'aide d'une primitive ou d'une majoration simple.

Une primitive de $1/t^2$ est $-1/t$ , donc $F(x)=\left[-\frac{1}{t}\right]_1^x = 1-\frac{1}{x}$ .

Étape 4 —

On étudie

\lim_{x\to b^-} F(x)

: si la limite existe et est finie, l'intégrale converge, sinon elle diverge.

Quand $x\to +\infty$ , $F(x)\to 1$ , donc l'intégrale converge et vaut $1$ .

L'intégrale converge et $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}=1$ .

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Comment montrer la convergence d'une intégrale impropre ?

En étudiant la limite de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t∫ax​f(t)dt quand x→b−x\to b^-x→b−

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$