Comment démontrer la… : En montrant la convergence de int|f|… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment démontrer la convergence absolue d'une intégrale impropre ?

En montrant la convergence de $\int|f|$ (qui implique la convergence)

Prouver la convergence d'une intégrale lorsque $f$ change de signe, en passant par l'intégrale de $|f|$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

L'objectif

Prouver la convergence d'une intégrale lorsque $f$ change de signe, en passant par l'intégrale de $|f|$ .

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a,b[$ et si $\int_a^b |f(t)|\,\mathrm{d}t$ converge, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge (résultat admis au BO).

La méthode

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On constate que $f$ n'est pas de signe constant au voisinage de la borne impropre, donc les théorèmes de comparaison directs ne s'appliquent pas à $f$ .
2
On majore $|f(t)|$ par une fonction positive $g(t)$ dont l'intégrale converge (typiquement une intégrale de référence).
Comment utiliser les intégrales de référence $\int \mathrm{d}t/t^\alpha$ et $\int e^{-t}\mathrm{d}t$ ?Voir
3
On conclut que $\int |f|$ converge par comparaison, donc que $\int f$ converge absolument, donc converge.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge.

Étape 1 —

On constate que

f

n'est pas de signe constant au voisinage de la borne impropre, donc les théorèmes de comparaison directs ne s'appliquent pas à

f

$f(t)=\cos(t)/t^2$ change de signe sur $[1,+\infty[$ , on ne peut pas appliquer directement les comparaisons.

Étape 2 —

On majore

|f(t)|

par une fonction positive

g(t)

dont l'intégrale converge (typiquement une intégrale de référence).

On a $|\cos(t)/t^2|\leq 1/t^2$ et $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^2$ converge (Riemann $\alpha=2>1$ ).

Étape 3 —

On conclut que

\int |f|

converge par comparaison, donc que

\int f

converge absolument, donc converge.

Par comparaison, $\int_1^{+\infty} |\cos(t)|/t^2\,\mathrm{d}t$ converge, donc l'intégrale initiale converge absolument, donc converge.

L'intégrale converge (absolument).

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Comment démontrer la convergence absolue d'une intégrale impropre ?

En montrant la convergence de ∫∣f∣\int|f|∫∣f∣ (qui implique la convergence)

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant la convergence de $\int|f|$ (qui implique la convergence)