Comment appliquer les théorèmes… : En appliquant f≤ g, fsim g, ou f=o(g)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment appliquer les théorèmes de comparaison pour fonctions positives ?

En appliquant $f\leq g$ , $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ au voisinage du point problématique (fonctions positives)

Déterminer la nature d'une intégrale de fonction positive sans la calculer, par comparaison avec une intégrale de référence.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+t}$ converge.

L'objectif

Déterminer la nature d'une intégrale de fonction positive sans la calculer, par comparaison avec une intégrale de référence.

Le principe

Si $f,g\geq 0$ au voisinage de $b$ : $f\leq g$ et $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge ; $f\sim g$ $\Rightarrow$ même nature ; $f=o(g)$ et $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge.

La méthode

1
On vérifie que $f$ est continue et positive au voisinage de la borne impropre $b$ (sinon, on travaille sur $|f|$ ).
2
On cherche une fonction de référence $g\geq 0$ dont la nature de l'intégrale est connue (typiquement $1/t^\alpha$ ou $e^{-\alpha t}$ ).
3
On établit une relation de comparaison au voisinage de $b$ : majoration $f\leq g$ , équivalence $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ .
4
On conclut en appliquant le théorème de comparaison correspondant sur la convergence ou la divergence.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+t}$ converge.

Étape 1 —

On vérifie que

f

est continue et positive au voisinage de la borne impropre

b

(sinon, on travaille sur

|f|

$f(t)=1/(t^2+t)$ est continue et positive sur $[1,+\infty[$ .

Étape 2 —

On cherche une fonction de référence

g\geq 0

dont la nature de l'intégrale est connue (typiquement

1/t^\alpha

e^{-\alpha t}

Je choisis la référence $g(t)=1/t^2$ dont l'intégrale converge sur $[1,+\infty[$ .

Étape 3 —

On établit une relation de comparaison au voisinage de

b

: majoration

f\leq g

, équivalence

f\sim g

, ou

f=o(g)

Pour $t\geq 1$ , $t^2+t\geq t^2$ , donc $0\leq f(t)\leq 1/t^2$ .

Étape 4 —

On conclut en appliquant le théorème de comparaison correspondant sur la convergence ou la divergence.

Par majoration par une fonction positive d'intégrale convergente, $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+t}$ converge.

L'intégrale converge.

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Comment appliquer les théorèmes de comparaison pour fonctions positives ?

En appliquant f≤gf\leq gf≤g, f∼gf\sim gf∼g, ou f=o(g)f=o(g)f=o(g) au voisinage du point problématique (fonctions positives)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $f\leq g$ , $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ au voisinage du point problématique (fonctions positives)