Comment montrer que des… : En vérifiant la relation produit pour… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer que des événements d'une suite sont mutuellement indépendants ?

En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille finie

Montrer que les événements d'une suite $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ : « pile au $n$ -ième lancer ». Montrer que la suite $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

L'objectif

Montrer que les événements d'une suite $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants.

Le principe

Les événements $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants si et seulement si pour toute partie finie $I\subset \mathbb{N}$ , $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)=\prod_{k\in I} P(A_k)$ .

La méthode

1
Je soigne la modélisation : je décris précisément chaque $A_n$ et je calcule $P(A_n)$ .
2
Je me donne une partie finie quelconque $I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}$ et j'exprime $\bigcap_{k\in I} A_k$ concrètement sur l'expérience.
3
Je calcule $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)$ (souvent via l'indépendance d'épreuves répétées ou une structure produit) et $\prod_{k\in I} P(A_k)$ , puis je vérifie leur égalité.
4
Je conclus que la relation produit étant valable pour toute partie finie $I$ , la suite $(A_n)$ est mutuellement indépendante.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ : « pile au $n$ -ième lancer ». Montrer que la suite $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

Étape 1 —

Je soigne la modélisation : je décris précisément chaque

A_n

et je calcule

P(A_n)

Chaque $A_n$ correspond à un lancer indépendant avec $P(A_n)=\frac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Je me donne une partie finie quelconque

I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}

et j'exprime

\bigcap_{k\in I} A_k

concrètement sur l'expérience.

Soit $I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}^*$ . L'événement $\bigcap_{k\in I} A_k$ correspond à « pile aux lancers $k_1,\dots,k_p$ ».

Étape 3 —

Je calcule

P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)

(souvent via l'indépendance d'épreuves répétées ou une structure produit) et

\prod_{k\in I} P(A_k)

, puis je vérifie leur égalité.

Par indépendance des lancers, $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^p=\prod_{k\in I} P(A_k)$ .

Étape 4 —

Je conclus que la relation produit étant valable pour toute partie finie

I

, la suite

(A_n)

est mutuellement indépendante.

La relation produit est vérifiée pour toute partie finie $I$ .

La suite $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

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