Comment écrire le DL en 0 d'une… : En mobilisant les DL classiques… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment écrire le DL en $0$ d'une fonction usuelle (exp, $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ , cos, sin) ?

En mobilisant les DL classiques : $e^x=1+x+x^2/2+\dots+o(x^n)$ , $\ln(1+x)=x-x^2/2+\dots$ , etc.

Écrire directement le DL en $0$ d'une fonction usuelle à l'ordre $n$ fixé.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Donner le DL à l'ordre $4$ de $e^x$ en $0$ .

L'objectif

Écrire directement le DL en $0$ d'une fonction usuelle à l'ordre $n$ fixé.

Le principe

Les DL en $0$ des fonctions de référence sont au programme et se présentent sous la forme d'un polynôme de degré $n$ plus un reste $o(x^n)$ ; tronquer au-delà ou en-deçà produit le DL à l'ordre voulu.

La méthode

1
J'identifie la fonction usuelle concernée et l'ordre $n$ demandé.
2
J'écris la formule du DL classique associée : $e^x=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+o(x^n)$ , $\ln(1+x)=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+o(x^n)$ , $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots+o(x^n)$ , $\cos x=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+o(x^n)$ , $\sin x=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^n)$ .
3
Je tronque explicitement la somme à l'ordre $n$ et je vérifie que le reste est bien $o(x^n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Donner le DL à l'ordre $4$ de $e^x$ en $0$ .

Étape 1 —

J'identifie la fonction usuelle concernée et l'ordre

n

demandé.

La fonction est $x\mapsto e^x$ et l'ordre demandé est $n=4$ .

Étape 2 —

J'écris la formule du DL classique associée :

e^x=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+o(x^n)

\ln(1+x)=\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k+o(x^n)

(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\dots+o(x^n)

\cos x=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}+o(x^n)

\sin x=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}+o(x^n)

J'écris $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$ .

Étape 3 —

Je tronque explicitement la somme à l'ordre

n

et je vérifie que le reste est bien

o(x^n)

Tous les termes de degré $\leq 4$ sont présents et le reste est bien $o(x^4)$ .

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)$ .

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Comment écrire le DL en 000 d'une fonction usuelle (exp, ln⁡(1+x)\ln(1+x)ln(1+x), (1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α, cos, sin) ?

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Pour comprendre, fais des exercices !

Comment écrire le DL en $0$ d'une fonction usuelle (exp, $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ , cos, sin) ?

En mobilisant les DL classiques : $e^x=1+x+x^2/2+\dots+o(x^n)$ , $\ln(1+x)=x-x^2/2+\dots$ , etc.