Comment déterminer les lois… : En sommant la loi conjointe sur une des… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?

En sommant la loi conjointe sur une des variables

Déduire les lois de $X$ et $Y$ séparément à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ .

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Reconnaître

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit le couple $(X, Y)$ de loi donnée par $P(1,1) = P(1,2) = P(2,1) = \frac{1}{4}$ et $P(2,2) = \frac{1}{4}$ . Déterminer les lois marginales.

L'objectif

Déduire les lois de $X$ et $Y$ séparément à partir de la loi conjointe de $(X, Y)$ .

Le principe

Par la formule des probabilités totales appliquée au système complet $([Y = y])_{y \in Y(\Omega)}$ : $P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ (et symétriquement pour $Y$ ).

La méthode

1
Je repère le support $X(\Omega)$ et, pour chaque $x \in X(\Omega)$ , les $y$ tels que $P([X = x] \cap [Y = y]) \neq 0$ .
2
Je calcule $P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ pour tout $x \in X(\Omega)$ .
3
Je répète avec l'autre variable : $P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])$ .
4
Je vérifie que $\sum_{x} P(X = x) = 1$ et $\sum_{y} P(Y = y) = 1$ , et je reconnais éventuellement des lois usuelles.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit le couple $(X, Y)$ de loi donnée par $P(1,1) = P(1,2) = P(2,1) = \frac{1}{4}$ et $P(2,2) = \frac{1}{4}$ . Déterminer les lois marginales.

Étape 1 —

Je repère le support

X(\Omega)

et, pour chaque

x \in X(\Omega)

, les

y

tels que

P([X = x] \cap [Y = y]) \neq 0

$X(\Omega) = Y(\Omega) = \{1, 2\}$ , toutes les probabilités sont non nulles.

Étape 2 —

Je calcule

P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])

pour tout

x \in X(\Omega)

$P(X = 1) = P(1,1) + P(1,2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ et $P(X = 2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je répète avec l'autre variable :

P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P([X = x] \cap [Y = y])

$P(Y = 1) = P(1,1) + P(2,1) = \frac{1}{2}$ et $P(Y = 2) = \frac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

\sum_{x} P(X = x) = 1

\sum_{y} P(Y = y) = 1

, et je reconnais éventuellement des lois usuelles.

Sommes $= 1$ . $X$ et $Y$ suivent la loi uniforme sur $\{1, 2\}$ .

$X, Y \hookrightarrow \mathcal{U}(\{1, 2\})$ .

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