Comment calculer E(XY) pour X… : En appliquant E(XY) = E(X) E(Y)… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment calculer E(XY) pour X, Y indépendantes ?

En appliquant E(XY) = E(X) E(Y) (indépendance), sous réserve d'existence

Obtenir l'espérance du produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

$X \hookrightarrow \mathcal{B}(5, 0{,}3)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{P}(4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

L'objectif

Obtenir l'espérance du produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance.

Le principe

Résultat admis : si $X$ et $Y$ sont deux VAR discrètes INDÉPENDANTES admettant chacune une espérance, alors $XY$ admet une espérance et $E(XY) = E(X) E(Y)$ .

La méthode

1
Je vérifie explicitement les deux hypothèses : (i) $X \perp\!\!\!\perp Y$ et (ii) $E(X)$ et $E(Y)$ existent (cas usuel des lois binomiale, Poisson, géométrique, uniforme finie).
2
Je calcule séparément $E(X)$ et $E(Y)$ à l'aide des formules classiques des lois usuelles.
3
Je conclus $E(XY) = E(X) E(Y)$ .
4
Je peux ensuite en déduire la covariance $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y) = 0$ pour des VAR indépendantes.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

$X \hookrightarrow \mathcal{B}(5, 0{,}3)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{P}(4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

Étape 1 —

Je vérifie explicitement les deux hypothèses : (i)

X \perp\!\!\!\perp Y

et (ii)

E(X)

E(Y)

existent (cas usuel des lois binomiale, Poisson, géométrique, uniforme finie).

Indépendance donnée ; $E(X)$ et $E(Y)$ existent ( $X$ finie, $Y$ de Poisson).

Étape 2 —

Je calcule séparément

E(X)

E(Y)

à l'aide des formules classiques des lois usuelles.

$E(X) = 5 \times 0{,}3 = 1{,}5$ ; $E(Y) = 4$ .

Étape 3 —

Je conclus

E(XY) = E(X) E(Y)

$E(XY) = 1{,}5 \times 4 = 6$ .

Étape 4 —

Je peux ensuite en déduire la covariance

\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y) = 0

pour des VAR indépendantes.

$\mathrm{Cov}(X, Y) = 6 - 6 = 0$ , ce qui est cohérent.

$E(XY) = 6$ .

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