Comment montrer qu'une fonction… : En étudiant f(x)/g(x) au voisinage de… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment montrer qu'une fonction est négligeable ou équivalente au voisinage d'un point ?

En étudiant $f(x)/g(x)$ au voisinage de $x_0$

Établir $f = \underset{x_0}{o}(g)$ ou $f \underset{x_0}{\sim} g$ pour deux fonctions.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $x^2 \underset{0}{=} o(x)$ .

L'objectif

Établir $f = \underset{x_0}{o}(g)$ ou $f \underset{x_0}{\sim} g$ pour deux fonctions.

Le principe

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$ (sauf peut-être en $x_0$ ), alors $f \underset{x_0}{=} o(g) \iff \displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$ et $f \underset{x_0}{\sim} g \iff \displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$ . Le cas $x_0 = \pm\infty$ est traité de la même manière.

La méthode

1
On vérifie que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage de $x_0$ (épointé si nécessaire) afin de former $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ .
2
On calcule $\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ (factorisation, croissances comparées, DL au voisinage de $x_0$ ).
Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?Voir
3
Selon la valeur de la limite, on conclut : $0 \Rightarrow f = o(g)$ ; $1 \Rightarrow f \sim g$ ; $\ell \neq 0, 1 \Rightarrow f \sim \ell g$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $x^2 \underset{0}{=} o(x)$ .

Étape 1 —

On vérifie que

g

ne s'annule pas sur un voisinage de

x_0

(épointé si nécessaire) afin de former

\dfrac{f(x)}{g(x)}

Sur un voisinage épointé de $0$ , $x \neq 0$ , donc $\dfrac{x^2}{x} = x$ est défini.

Étape 2 —

On calcule

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}

(factorisation, croissances comparées, DL au voisinage de

x_0

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{x^2}{x} = \lim_{x\to 0} x = 0$ .

Étape 3 —

Selon la valeur de la limite, on conclut :

0 \Rightarrow f = o(g)

;

1 \Rightarrow f \sim g

;

\ell \neq 0, 1 \Rightarrow f \sim \ell g

Donc $x^2 = \underset{0}{o}(x)$ .

$x^2 \underset{0}{=} o(x)$ .

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Comment montrer qu'une fonction est négligeable ou équivalente au voisinage d'un point ?

En étudiant f(x)/g(x)f(x)/g(x)f(x)/g(x) au voisinage de x0x_0x0​

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant $f(x)/g(x)$ au voisinage de $x_0$