Comment utiliser un équivalent… : En remplaçant la suite/fonction par un… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser un équivalent pour calculer une limite ?

En remplaçant la suite/fonction par un équivalent plus simple

Calculer une limite d'expression en substituant chaque facteur par son équivalent.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}$ .

L'objectif

Calculer une limite d'expression en substituant chaque facteur par son équivalent.

Le principe

Si $u_n \sim w_n$ et $w_n$ admet une limite $\ell$ , alors $u_n \to \ell$ . On peut donc remplacer une expression par un équivalent à condition de respecter les règles de manipulation (produit, quotient, puissance — jamais somme ni composition).

La méthode

1
On repère la forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $\infty/\infty$ , $0/0$ , etc.) et le(s) terme(s) qui la provoque(nt).
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
2
On remplace chaque facteur (numérateur, dénominateur, puissance) par un équivalent plus simple, en s'assurant que l'opération est licite (produit, quotient, puissance).
3
On calcule la limite de l'expression simplifiée et on conclut.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}$ .

Étape 1 —

On repère la forme indéterminée (

\infty - \infty

\infty/\infty

0/0

, etc.) et le(s) terme(s) qui la provoque(nt).

Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ .

Étape 2 —

On remplace chaque facteur (numérateur, dénominateur, puissance) par un équivalent plus simple, en s'assurant que l'opération est licite (produit, quotient, puissance).

Au numérateur $n^2 + 3n \sim n^2$ et au dénominateur $2n^2 - 1 \sim 2n^2$ , donc $\dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1} \sim \dfrac{n^2}{2n^2} = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

On calcule la limite de l'expression simplifiée et on conclut.

Donc la limite vaut $\dfrac{1}{2}$ .

$\dfrac{1}{2}$ .

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