Comment utiliser les… : En appliquant lim_ x→ 0 x^a|ln x|^b=0… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?

En appliquant $\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0$ , $\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0$ , etc.

Lever une indétermination faisant intervenir $\ln$ , $\exp$ et des puissances via les croissances comparées.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ .

L'objectif

Lever une indétermination faisant intervenir $\ln$ , $\exp$ et des puissances via les croissances comparées.

Le principe

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x^a |\ln x|^b = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{(\ln x)^b}{x^a} = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^a e^{-bx} = 0$ , $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} |x|^a e^{bx} = 0$ . Version suites (avec $n \in \mathbb{N}^*$ ) : $\dfrac{(\ln n)^b}{n^a} \to 0$ et $\dfrac{n^a}{e^{bn}} \to 0$ .

La méthode

1
On repère la forme indéterminée et les fonctions en compétition : puissance $x^a$ vs logarithme $(\ln x)^b$ , ou puissance vs exponentielle.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
2
On réécrit l'expression de façon à faire apparaître une des formes standards ( $x^a|\ln x|^b$ , $x^a e^{-bx}$ , etc.), en factorisant par le terme dominant si nécessaire.
3
On applique la croissance comparée adaptée et on conclut sur la limite.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ .

Étape 1 —

On repère la forme indéterminée et les fonctions en compétition : puissance

x^a

vs logarithme

(\ln x)^b

, ou puissance vs exponentielle.

Forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ , puissance $x^1$ contre $(\ln x)^1$ .

Étape 2 —

On réécrit l'expression de façon à faire apparaître une des formes standards (

x^a|\ln x|^b

x^a e^{-bx}

, etc.), en factorisant par le terme dominant si nécessaire.

L'expression est déjà sous la forme standard $\dfrac{(\ln x)^1}{x^1}$ avec $a = b = 1 > 0$ .

Étape 3 —

On applique la croissance comparée adaptée et on conclut sur la limite.

Par croissance comparée $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ .

$0$ .

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Comment utiliser les croissances comparées en ±∞\pm\infty±∞ ou en 000 ?

En appliquant lim⁡x→0xa∣ln⁡x∣b=0\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0limx→0​xa∣lnx∣b=0, lim⁡x→+∞xae−bx=0\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0limx→+∞​xae−bx=0, etc.

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment utiliser les croissances comparées en $\pm\infty$ ou en $0$ ?

En appliquant $\lim_{x\to 0} x^a|\ln x|^b=0$ , $\lim_{x\to+\infty} x^a e^{-bx}=0$ , etc.