Comment approcher numériquement… : En itérant une suite récurrente u_ n+1… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment approcher numériquement la racine d'une équation $f(x)=0$ en Python ?

En itérant une suite récurrente $u_{n+1}=g(u_n)$ convergente jusqu'à stabilisation à $\varepsilon$ près

Approcher un point fixe $\ell$ de $g$ (donc une racine de $f(x)=g(x)-x$ ) en itérant la suite $u_{n+1}=g(u_n)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Approcher le point fixe de $g(x)=\cos(x)$ à $10^{-5}$ près en partant de $u_0=1$ .

L'objectif

Approcher un point fixe $\ell$ de $g$ (donc une racine de $f(x)=g(x)-x$ ) en itérant la suite $u_{n+1}=g(u_n)$ .

Le principe

Si $g$ est continue sur un intervalle $I$ stable par $g$ et si $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=g(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors $\ell$ est un point fixe de $g$ ; en pratique on arrête l'itération dès que $|u_{n+1}-u_n|<\varepsilon$ .

La méthode

1
Je définis $g$ (dérivée du problème : pour $f(x)=0$ , on choisit $g$ telle que $g(x)=x\Leftrightarrow f(x)=0$ ) et je justifie la convergence de la suite (par exemple $g$ contractante sur $I$ ).
2
Je choisis une valeur initiale $u_0 \in I$ .
3
Dans une boucle while, je calcule u_next = g(u) tant que abs(u_next - u) >= eps, puis je remplace u par u_next.
4
Je renvoie u, valeur approchée du point fixe.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Approcher le point fixe de $g(x)=\cos(x)$ à $10^{-5}$ près en partant de $u_0=1$ .

Étape 1 —

Je définis

g

(dérivée du problème : pour

f(x)=0

, on choisit

g

telle que

g(x)=x\Leftrightarrow f(x)=0

) et je justifie la convergence de la suite (par exemple

g

contractante sur

I

$g=\cos$ est continue sur $[0,1]$ et $|g'(x)|=|\sin x|\le \sin 1<1$ sur $[0,1]$ , donc $g$ est contractante : la suite converge vers l'unique point fixe.

Étape 2 —

Je choisis une valeur initiale

u_0 \in I

On pose $u_0=1$ .

Étape 3 —

Dans une boucle while, je calcule u_next = g(u) tant que abs(u_next - u) >= eps, puis je remplace u par u_next.

On itère : $u_1=\cos 1\approx 0{,}540$ , $u_2=\cos u_1\approx 0{,}858$ , $u_3\approx 0{,}654$ , $\dots$ jusqu'à stabilisation.

Étape 4 —

Je renvoie u, valeur approchée du point fixe.

Après environ $50$ itérations, on obtient $u\approx 0{,}73909$ (point fixe de $\cos$ ).

import math
def point_fixe(g, u0, eps):
    u = u0
    u_next = g(u)
    while abs(u_next - u) >= eps:
        u = u_next
        u_next = g(u)
    return u_next

print(point_fixe(math.cos, 1, 1e-5))  # ~0.73908

Point fixe $\approx 0{,}73909$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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