Comment simuler une loi usuelle… : En utilisant les fonctions… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment simuler une loi usuelle en Python et estimer ses caractéristiques ?

En utilisant les fonctions `numpy.random.binomial`, `geometric`, `poisson`, `randint` pour générer un échantillon, puis `np.mean` et `np.var` pour estimer $E$ et $V$ empiriquement

Estimer numériquement l'espérance et la variance d'une loi discrète usuelle à partir d'un échantillon de grande taille simulé avec numpy.random.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X\sim\mathcal{B}(20,\,0{,}3)$ . Simuler $10\,000$ réalisations de $X$ et estimer $E(X)$ et $V(X)$ , puis comparer à $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=4{,}2$ .

L'objectif

Estimer numériquement l'espérance et la variance d'une loi discrète usuelle à partir d'un échantillon de grande taille simulé avec numpy.random.

Le principe

Si $X$ admet une espérance $E(X)$ et une variance $V(X)$ , alors pour un échantillon i.i.d. $(X_1,\dots,X_N)$ de même loi que $X$ , la loi (faible) des grands nombres donne $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N X_k \xrightarrow[N\to+\infty]{} E(X)$ et $\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (X_k-\bar X)^2 \xrightarrow[N\to+\infty]{} V(X)$ .

La méthode

1
J'identifie la loi à simuler et ses paramètres, puis je choisis la fonction numpy.random adaptée : binomial(n, p, N), geometric(p, N), poisson(lam, N) ou randint(a, b+1, N) pour la loi uniforme sur $[\![a,b]\!]$ .
2
Je génère un échantillon de grande taille $N$ (typiquement $10^4$ ou $10^5$ ) stocké dans un tableau numpy, puis je calcule np.mean(X) et np.var(X) pour estimer $E(X)$ et $V(X)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?Voir
3
Je compare les valeurs empiriques aux valeurs théoriques attendues pour valider le code (et j'affiche éventuellement un histogramme avec matplotlib.pyplot.hist).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X\sim\mathcal{B}(20,\,0{,}3)$ . Simuler $10\,000$ réalisations de $X$ et estimer $E(X)$ et $V(X)$ , puis comparer à $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=4{,}2$ .

Étape 1 —

J'identifie la loi à simuler et ses paramètres, puis je choisis la fonction numpy.random adaptée : binomial(n, p, N), geometric(p, N), poisson(lam, N) ou randint(a, b+1, N) pour la loi uniforme sur

[\![a,b]\!]

La loi est binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ : j'utilise np.random.binomial(n, p, N).

Étape 2 —

Je génère un échantillon de grande taille

N

(typiquement

10^4

10^5

) stocké dans un tableau numpy, puis je calcule np.mean(X) et np.var(X) pour estimer

E(X)

V(X)

Je simule et j'estime espérance et variance empiriques.

import numpy as np
N = 10000
X = np.random.binomial(20, 0.3, N)
print(np.mean(X))  # ~6.0
print(np.var(X))   # ~4.2

Étape 3 —

Je compare les valeurs empiriques aux valeurs théoriques attendues pour valider le code (et j'affiche éventuellement un histogramme avec matplotlib.pyplot.hist).

Les valeurs empiriques (~ $6{,}0$ et ~ $4{,}2$ ) sont proches des valeurs théoriques $E(X)=np=6$ et $V(X)=np(1-p)=20\times 0{,}3\times 0{,}7=4{,}2$ , ce qui valide la simulation.

$\hat E\approx 6$ et $\hat V\approx 4{,}2$ , conformes à $E(X)=6$ et $V(X)=4{,}2$ .

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Comment simuler une loi usuelle en Python et estimer ses caractéristiques ?

En utilisant les fonctions numpy.random.binomial, geometric, poisson, randint pour générer un échantillon, puis np.mean et np.var pour estimer EEE et VVV empiriquement

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les fonctions `numpy.random.binomial`, `geometric`, `poisson`, `randint` pour générer un échantillon, puis `np.mean` et `np.var` pour estimer $E$ et $V$ empiriquement