Comment déterminer le domaine de… : En identifiant les contraintes des… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?

En identifiant les contraintes des fonctions usuelles (dénominateur non nul, argument positif pour $\sqrt{\cdot}$ , strictement positif pour $\ln$ ) et en prenant leur intersection

Déterminer l'ensemble $\mathcal{D}_f$ des $x\in\mathbb{R}$ pour lesquels $f(x)$ est bien défini.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x-1}+\ln(3-x)$ .

L'objectif

Déterminer l'ensemble $\mathcal{D}_f$ des $x\in\mathbb{R}$ pour lesquels $f(x)$ est bien défini.

Le principe

Chaque fonction usuelle impose une contrainte sur son argument : un dénominateur doit être non nul, un argument de $\sqrt{\cdot}$ doit être positif ou nul ( $\geq 0$ ), un argument de $\ln$ doit être strictement positif ( $>0$ ) ; le domaine de $f$ est l'intersection de toutes ces contraintes.

La méthode

1
Je repère dans l'expression de $f(x)$ chaque fonction usuelle (fraction, racine, logarithme, exponentielle, puissance non entière) et j'écris la contrainte associée à son argument.
2
Je résous chacune de ces inéquations ou équations pour obtenir un ensemble de $x$ admissibles par contrainte.
3
Je prends l'intersection des ensembles obtenus, que j'écris sous forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles : c'est $\mathcal{D}_f$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer le domaine de définition de $f(x)=\sqrt{x-1}+\ln(3-x)$ .

Étape 1 —

Je repère dans l'expression de

f(x)

chaque fonction usuelle (fraction, racine, logarithme, exponentielle, puissance non entière) et j'écris la contrainte associée à son argument.

La racine impose $x-1\geq 0$ et le logarithme impose $3-x>0$ .

Étape 2 —

Je résous chacune de ces inéquations ou équations pour obtenir un ensemble de

x

admissibles par contrainte.

La première donne $x\geq 1$ , la seconde $x<3$ .

Étape 3 —

Je prends l'intersection des ensembles obtenus, que j'écris sous forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles : c'est

\mathcal{D}_f

L'intersection est $[1,3[$ , donc $\mathcal{D}_f=[1,3[$ .

$\mathcal{D}_f=[1,3[$ .

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Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction ?

En identifiant les contraintes des fonctions usuelles (dénominateur non nul, argument positif pour ⋅\sqrt{\cdot}⋅​, strictement positif pour ln⁡\lnln) et en prenant leur intersection

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les contraintes des fonctions usuelles (dénominateur non nul, argument positif pour $\sqrt{\cdot}$ , strictement positif pour $\ln$ ) et en prenant leur intersection