Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

Je vois $f$ comme somme de $g(x)=e^{x^2}=\exp\circ(x\mapsto x^2)$ et de $h(x)=\ln(1+x^2)=\ln\circ(x\mapsto 1+x^2)$ sur $\mathbb{R}$.

$x\mapsto x^2$ et $x\mapsto 1+x^2$ sont polynomiales donc continues sur $\mathbb{R}$ ; $\exp$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$ et $1+x^2>0$ pour tout $x$.

Par composition et somme, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.