Comment étudier les variations d'une fonction à l'aide du signe de sa dérivée ?

$f$ est un quotient de fonctions dérivables à dénominateur non nul sur $\mathbb{R}$, donc dérivable sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$.

Le dénominateur est strictement positif, donc $f'(x)$ a le signe de $1-x^2=(1-x)(1+x)$ : positif sur $]-1,1[$, négatif sur $]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[$, nul en $\pm 1$.

Tableau de variations :