Comment étudier la dérivabilité… : En calculant la limite du taux… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$

Déterminer si $f$ est dérivable en un point $x_0$ et, le cas échéant, calculer $f'(x_0)$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$ .

L'objectif

Déterminer si $f$ est dérivable en un point $x_0$ et, le cas échéant, calculer $f'(x_0)$ .

Le principe

Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe et est finie ; cette limite, notée $f'(x_0)$ , est alors le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est bien définie sur un intervalle contenant $x_0$ et j'écris le taux d'accroissement $\tau(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ pour $x\neq x_0$ .
2
Je calcule la limite de $\tau(x)$ lorsque $x\to x_0$ , éventuellement en simplifiant l'expression (factorisation, quantité conjuguée).
Comment calculer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini ?Voir
3
Je conclus : si la limite existe et est finie, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)$ vaut cette limite ; sinon $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x)=x^2$ est dérivable en $x_0=1$ et calculer $f'(1)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est bien définie sur un intervalle contenant

x_0

et j'écris le taux d'accroissement

\tau(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

pour

x\neq x_0

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ donc sur tout intervalle contenant $1$ : j'écris $\tau(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x\neq 1$ .

Étape 2 —

Je calcule la limite de

\tau(x)

lorsque

x\to x_0

, éventuellement en simplifiant l'expression (factorisation, quantité conjuguée).

Je factorise : $\tau(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , donc $\lim_{x\to 1}\tau(x)=2$ .

Étape 3 —

Je conclus : si la limite existe et est finie,

f

est dérivable en

x_0

f'(x_0)

vaut cette limite ; sinon

f

n'est pas dérivable en

x_0

La limite existe et vaut $2$ , donc $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$ .

$f$ est dérivable en $1$ avec $f'(1)=2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier la dérivabilité d'une fonction en un point ou sur un intervalle ?

En calculant la limite du taux d'accroissement f(x)−f(x0)x−x0\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}x−x0​f(x)−f(x0​)​ lorsque x→x0x\to x_0x→x0​

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant la limite du taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x\to x_0$