Comment étudier la convexité/conc… : En étudiant le signe de f'' (convexe si… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment étudier la convexité/concavité d'une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ et ses points d'inflexion ?

En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et ses éventuels points d'inflexion.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convexité de $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de $f$ et ses éventuels points d'inflexion.

Le principe

Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est convexe sur $I$ ssi $f''\geq 0$ sur $I$ , concave ssi $f''\leq 0$ ; un point $x_0\in I$ où $f''$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion (la courbe traverse sa tangente).

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $I$ , puis je calcule $f'$ et $f''$ .
Comment calculer la dérivée d'une fonction ?Voir
2
J'étudie le signe de $f''(x)$ et je repère les zéros et changements de signe.
3
Je conclus : $f$ est convexe sur les intervalles où $f''\geq 0$ , concave là où $f''\leq 0$ , et les changements de signe de $f''$ donnent les points d'inflexion.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convexité de $f(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^2

sur

I

, puis je calcule

f'

f''

$f=\exp$ est de classe $\mathcal{C}^2$ (et même $\mathcal{C}^\infty$ ) sur $\mathbb{R}$ ; $f'(x)=e^x$ , $f''(x)=e^x$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f''(x)

et je repère les zéros et changements de signe.

$f''(x)=e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $f''$ ne s'annule jamais, aucun point d'inflexion.

Étape 3 —

Je conclus :

f

est convexe sur les intervalles où

f''\geq 0

, concave là où

f''\leq 0

, et les changements de signe de

f''

donnent les points d'inflexion.

$f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ .

$f(x)=e^x$ est convexe sur $\mathbb{R}$ , sans point d'inflexion.

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En étudiant le signe de $f''$ (convexe si $f''\geq 0$ , concave si $f''\leq 0$ ) et en repérant les changements de signe comme points d'inflexion