Comment calculer la dérivée… : En appliquant les règles (linéarité… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment calculer la dérivée d'une fonction ?

En appliquant les règles (linéarité, produit $uv$ , quotient $u/v$ , composition $(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u$ ) et les dérivées de référence

Obtenir l'expression explicite de $f'(x)$ pour une fonction dérivable construite à partir de fonctions usuelles.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dériver $f(x)=x^3\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite de $f'(x)$ pour une fonction dérivable construite à partir de fonctions usuelles.

Le principe

Si $u,v$ sont dérivables sur un intervalle $I$ , alors $(u+v)'=u'+v'$ , $(uv)'=u'v+uv'$ , $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ (là où $v\neq 0$ ) et $(v\circ u)'=u'\cdot(v'\circ u)$ ; les dérivées usuelles sont $(x^n)'=nx^{n-1}$ , $(e^x)'=e^x$ , $(\ln x)'=1/x$ , $(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})$ .

La méthode

1
Identifier la structure de $f$ (somme, produit, quotient, composée) et les briques $u,v$ avec leurs dérivées respectives.
2
J'applique la règle de dérivation adéquate et je remplace chaque dérivée par son expression.
3
Je simplifie l'expression obtenue (factorisation, mise au même dénominateur) et j'énonce le résultat en précisant l'intervalle de validité.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dériver $f(x)=x^3\ln x$ sur $]0,+\infty[$ .

Étape 1 —

Identifier la structure de

f

(somme, produit, quotient, composée) et les briques

u,v

avec leurs dérivées respectives.

$f=uv$ avec $u(x)=x^3$ dérivable sur $\mathbb{R}$ (donc sur $]0,+\infty[$ ), $u'(x)=3x^2$ ; $v(x)=\ln x$ dérivable sur $]0,+\infty[$ , $v'(x)=1/x$ .

Étape 2 —

J'applique la règle de dérivation adéquate et je remplace chaque dérivée par son expression.

$(uv)'=u'v+uv'$ donne $f'(x)=3x^2\ln x+x^3\cdot\frac{1}{x}=3x^2\ln x+x^2$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue (factorisation, mise au même dénominateur) et j'énonce le résultat en précisant l'intervalle de validité.

Je factorise : $f'(x)=x^2(3\ln x+1)$ sur $]0,+\infty[$ .

$f'(x)=x^2(3\ln x+1)$ sur $]0,+\infty[$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer la dérivée d'une fonction ?

En appliquant les règles (linéarité, produit uvuvuv, quotient u/vu/vu/v, composition (v∘u)′=u′⋅v′∘u(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u(v∘u)′=u′⋅v′∘u) et les dérivées de référence

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant les règles (linéarité, produit $uv$ , quotient $u/v$ , composition $(v\circ u)'=u'\cdot v'\circ u$ ) et les dérivées de référence