Comment démontrer que la somme des… : En traçant par un sommet la parallèle au côté… — 5e | MetMat

Comment démontrer que la somme des angles d'un triangle vaut 180° ?

En traçant par un sommet la parallèle au côté opposé, puis en utilisant l'égalité des angles alternes-internes pour montrer que les trois angles se reconstituent en un angle plat

Démontrer géométriquement que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Démontrer que dans le triangle ABC, $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ .

L'objectif

Démontrer géométriquement que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.

Le principe

Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux.

La méthode

1
Soit le triangle ABC. Tracer par le sommet A la droite $(d)$ parallèle à la droite $(BC)$ .
2
Les droites $(d)$ et $(BC)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(AB)$ : les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle formé entre $(d)$ et $AB$ (du côté de B) est égal à $\widehat{B}$ .
Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?Voir
3
De même, $(d)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante $(AC)$ : l'angle formé entre $(d)$ et $AC$ (du côté de C) est égal à $\widehat{C}$ .
Comment identifier des angles alternes-internes ou correspondants dans une figure ?Voir
4
Les trois angles $\widehat{B}$ , $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ sont adjacents et forment ensemble un angle plat sur la droite $(d)$ , donc leur somme est $180°$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Démontrer que dans le triangle ABC, $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ .

Étape 1 —

Soit le triangle ABC. Tracer par le sommet A la droite

(d)

parallèle à la droite

(BC)

On trace par A la droite $(d)$ parallèle à $(BC)$ .

Étape 2 —

Les droites

(d)

(BC)

sont parallèles et coupées par la sécante

(AB)

: les angles alternes-internes sont égaux, donc l'angle formé entre

(d)

AB

(du côté de B) est égal à

\widehat{B}

$(d) \parallel (BC)$ , sécante $(AB)$ : angles alternes-internes $\Rightarrow$ angle en A du côté de B $= \widehat{B}$ .

Étape 3 —

De même,

(d)

(BC)

sont coupées par la sécante

(AC)

: l'angle formé entre

(d)

AC

(du côté de C) est égal à

\widehat{C}

$(d) \parallel (BC)$ , sécante $(AC)$ : angles alternes-internes $\Rightarrow$ angle en A du côté de C $= \widehat{C}$ .

Étape 4 —

Les trois angles

\widehat{B}

\widehat{A}

\widehat{C}

sont adjacents et forment ensemble un angle plat sur la droite

(d)

, donc leur somme est

180°

\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°

Les angles $\widehat{B}$ , $\widehat{A}$ et $\widehat{C}$ forment un angle plat sur $(d)$ : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180°$ . $\square$

La somme des angles du triangle ABC est bien $180°$ .

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