Comment décomposer un nombre en… : En divisant successivement par les nombres… — 5e | MetMat

Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?

En divisant successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7... jusqu'à obtenir 1

Écrire un entier comme produit de facteurs premiers.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Décomposer $12$ en produit de facteurs premiers.

L'objectif

Écrire un entier comme produit de facteurs premiers.

Le principe

Tout entier $n > 1$ admet une décomposition unique en produit de facteurs premiers, obtenue par divisions successives par 2, 3, 5, 7, 11…

La méthode

1
Tester si le nombre est divisible par $2$ (critère : chiffre des unités pair). Si oui, diviser par $2$ et noter le quotient. Répéter jusqu'à ce que le quotient ne soit plus divisible par $2$ .
Comment vérifier si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9 ou 10 ?Voir
2
Tester ensuite la divisibilité par $3$ , puis par $5$ , puis par $7$ , etc. Pour chaque nombre premier, diviser autant de fois que possible.
3
Arrêter quand le quotient vaut $1$ . Écrire la décomposition comme le produit de tous les nombres premiers utilisés (avec exposants si un facteur se répète).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Décomposer $12$ en produit de facteurs premiers.

Étape 1 —

Tester si le nombre est divisible par

2

(critère : chiffre des unités pair). Si oui, diviser par

2

et noter le quotient. Répéter jusqu'à ce que le quotient ne soit plus divisible par

2

$12$ est pair : $12 \div 2 = 6$ . $6$ est pair : $6 \div 2 = 3$ . $3$ n'est plus divisible par $2$ .

Étape 2 —

Tester ensuite la divisibilité par

3

, puis par

5

, puis par

7

, etc. Pour chaque nombre premier, diviser autant de fois que possible.

On teste $3$ : $3 \div 3 = 1$ .

Étape 3 —

Arrêter quand le quotient vaut

1

. Écrire la décomposition comme le produit de tous les nombres premiers utilisés (avec exposants si un facteur se répète).

Le quotient est $1$ , on s'arrête. $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$ .

$12 = 2^2 \times 3$

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