Comment montre… : Démontrer l'irrationalité par l'absurde — 2de | MetMat

Comment montrer qu'un nombre est irrationnel ?

Démontrer l'irrationalité par l'absurde

Prouver qu'un nombre ne peut pas s'écrire sous forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

L'objectif

Prouver qu'un nombre ne peut pas s'écrire sous forme $\frac{p}{q}$ avec $p, q$ entiers.

Le principe

On suppose le nombre rationnel $\frac{p}{q}$ irréductible, puis on montre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs — contradiction avec l'irréductibilité.

La méthode

1
Supposer par l'absurde que le nombre $x$ est rationnel : $x = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ , $q \neq 0$ , et la fraction irréductible ( $\operatorname{pgcd}(p,q) = 1$ ).
2
Manipuler algébriquement l'égalité pour faire apparaître une propriété de divisibilité ou de parité sur $p$ (ex. : $p^2 = 2q^2$ → $p^2$ pair → $p$ pair).
3
Réinjecter la parité de $p$ dans l'égalité pour montrer que $q$ est aussi pair (ex. : $p = 2k$ → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$ → $q$ pair).
4
Conclure : $p$ et $q$ sont tous les deux pairs, donc $\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2$ , ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible → $x$ est irrationnel.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Étape 1 —

Supposer par l'absurde que le nombre

x

est rationnel :

x = \frac{p}{q}

avec

p, q \in \mathbb{Z}

q \neq 0

, et la fraction irréductible (

\operatorname{pgcd}(p,q) = 1

Supposons par l'absurde $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ avec $\operatorname{pgcd}(p, q) = 1$ (fraction irréductible).

Étape 2 —

Manipuler algébriquement l'égalité pour faire apparaître une propriété de divisibilité ou de parité sur

p

(ex. :

p^2 = 2q^2

→

p^2

pair →

p

pair).

En élevant au carré : $2 = \frac{p^2}{q^2}$ , soit $p^2 = 2q^2$ . Donc $p^2$ est pair, ce qui implique que $p$ est pair : on pose $p = 2k$ .

Étape 3 —

Réinjecter la parité de

p

dans l'égalité pour montrer que

q

est aussi pair (ex. :

p = 2k

→

4k^2 = 2q^2

→

q^2 = 2k^2

→

q

pair).

En substituant : $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2$ . Donc $q^2$ est pair, ce qui implique que $q$ est pair.

Étape 4 —

Conclure :

p

q

sont tous les deux pairs, donc

\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2

, ce qui contredit l'hypothèse de fraction irréductible →

x

est irrationnel.

$p$ et $q$ sont tous les deux pairs → $\operatorname{pgcd}(p,q) \geq 2$ , ce qui contredit $\operatorname{pgcd}(p,q) = 1$ . Donc $\sqrt{2}$ est irrationnel.

$\sqrt{2}$ est irrationnel.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.