Comment encadrer un nombre réel à $10^{-n}$ près ?

En balayant les décimaux d'ordre $n$ jusqu'à trouver deux valeurs consécutives encadrant le réel

Trouver deux décimaux consécutifs d'ordre $n$ encadrant un réel donné.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Encadrer $\sqrt{3}$ à $10^{-1}$ près.

L'objectif

Trouver deux décimaux consécutifs d'ordre $n$ encadrant un réel donné.

Le principe

Encadrer à $10^{-n}$ près signifie trouver $k$ entier tel que $k \cdot 10^{-n} \leq x < (k+1) \cdot 10^{-n}$ .

La méthode

1
Déterminer la précision souhaitée $10^{-n}$ (par exemple $10^{-2}$ pour le centième).
2
Calculer ou estimer la valeur approchée de $x$ , puis identifier l'entier $k$ tel que $k \cdot 10^{-n} \leq x < (k+1) \cdot 10^{-n}$ .
3
Écrire l'encadrement : $k \cdot 10^{-n} \leq x < (k+1) \cdot 10^{-n}$ (ou avec $\leq$ si la borne est atteinte).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Encadrer $\sqrt{3}$ à $10^{-1}$ près.

Étape 1 —

Déterminer la précision souhaitée

10^{-n}

(par exemple

10^{-2}

pour le centième).

La précision est $10^{-1} = 0{,}1$ .

Étape 2 —

Calculer ou estimer la valeur approchée de

x

, puis identifier l'entier

k

tel que

k \cdot 10^{-n} \leq x < (k+1) \cdot 10^{-n}

.

On sait que $1{,}7^2 = 2{,}89 < 3$ et $1{,}8^2 = 3{,}24 > 3$ , donc $1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8$ .

Étape 3 —

Écrire l'encadrement :

k \cdot 10^{-n} \leq x < (k+1) \cdot 10^{-n}

(ou avec

\leq

si la borne est atteinte).

L'encadrement à $0{,}1$ près est $1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8$ .

$1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8$

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Pour comprendre, fais des exercices !

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