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Comment construire et utiliser le projeté orthogonal d'un point sur une droite ?

Construire le projeté orthogonal d'un point sur une droite

Construire et exploiter le projeté orthogonal d'un point sur une droite pour calculer une distance ou résoudre un problème de géométrie.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AB = 10 \,\mathrm{cm}$ , $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ . Calculer $CH$ .

L'objectif

Construire et exploiter le projeté orthogonal d'un point sur une droite pour calculer une distance ou résoudre un problème de géométrie.

Le principe

Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\Delta$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $M$ sur $\Delta$ ; il est l'unique point de $\Delta$ tel que $MH \perp \Delta$ , et il minimise la distance de $M$ à tout point de $\Delta$ .

La méthode

1
Identifier le point $M$ et la droite $\Delta$ sur lesquels porte la question.
2
Tracer la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $M$ (à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).
3
Nommer $H$ le point d'intersection de cette perpendiculaire avec $\Delta$ : $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $\Delta$ .
4
Utiliser les propriétés de $H$ : $MH$ est la distance de $M$ à $\Delta$ (la plus courte), et tout calcul sur le triangle $MHA$ (avec $A \in \Delta$ ) peut exploiter l'angle droit en $H$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$ , $AB = 10 \,\mathrm{cm}$ , $BC = 6 \,\mathrm{cm}$ . Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ . Calculer $CH$ .

Étape 1 —

Identifier le point

M

et la droite

\Delta

sur lesquels porte la question.

Le point est $C$ et la droite est $(AB)$ . $H$ est le pied de l'altitude issue de $C$ dans le triangle $ABC$ .

Étape 2 —

Tracer la perpendiculaire à

\Delta

passant par

M

(à l'équerre ou par calcul avec les vecteurs directeurs).

On trace la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ : son pied est $H$ , donc $CH \perp AB$ .

Étape 3 —

Nommer

H

le point d'intersection de cette perpendiculaire avec

\Delta

H

est le projeté orthogonal de

M

sur

\Delta

Dans le triangle rectangle en $C$ , l'altitude sur l'hypoténuse vérifie $CH^2 = AH \times HB$ . On calcule d'abord $AC$ : $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100 - 36} = 8 \,\mathrm{cm}$ .

Étape 4 —

Utiliser les propriétés de

H

MH

est la distance de

M

\Delta

(la plus courte), et tout calcul sur le triangle

MHA

(avec

A \in \Delta

) peut exploiter l'angle droit en

H

Relation altitude-hypoténuse : $CH = \frac{AC \times BC}{AB} = \frac{8 \times 6}{10} = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

$CH = 4{,}8 \,\mathrm{cm}$ .

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