Comment étudier la position relative… : En calculant et en factorisant les différences… — 2de | MetMat

Comment étudier la position relative de $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ?

En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$

Déterminer l'ordre de $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x \geq 0$ en étudiant le signe des différences factoriséees.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Comparer $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x = 0{,}5$ .

L'objectif

Déterminer l'ordre de $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x \geq 0$ en étudiant le signe des différences factoriséees.

Le principe

La position relative de deux courbes se lit sur le signe de leur différence : si $f(x) - g(x) > 0$ , alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ .

La méthode

1
Calculer et factoriser $x^2 - x = x(x - 1)$ et $x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$ .
2
Étudier le signe de $x(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
3
Étudier le signe de $x^2(x-1)$ pour $x \geq 0$ : $x^2 \geq 0$ toujours, et $(x-1)$ change de signe en $x = 1$ . Donc $x^2(x-1) \leq 0$ sur $[0;1]$ et $x^2(x-1) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$ .
4
Conclure : sur $[0;1]$ , $x^2 \leq x$ et $x^3 \leq x^2$ , soit $x^3 \leq x^2 \leq x$ ; sur $[1;+\infty[$ , $x^2 \geq x$ et $x^3 \geq x^2$ , soit $x \leq x^2 \leq x^3$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Comparer $x$ , $x^2$ et $x^3$ pour $x = 0{,}5$ .

Étape 1 —

Calculer et factoriser

x^2 - x = x(x - 1)

x^3 - x^2 = x^2(x - 1)

$x^2 - x = 0{,}5(0{,}5 - 1) = 0{,}5 \times (-0{,}5) = -0{,}25 < 0$ ; $x^3 - x^2 = 0{,}25(0{,}5 - 1) = -0{,}125 < 0$ .

Étape 2 —

Étudier le signe de

x(x-1)

pour

x \geq 0

x \geq 0

toujours, et

(x-1)

change de signe en

x = 1

. Donc

x(x-1) \leq 0

sur

[0;1]

x(x-1) \geq 0

sur

[1;+\infty[

$x^2 - x < 0$ donc $x^2 < x$ , soit $0{,}25 < 0{,}5$ .

Étape 3 —

Étudier le signe de

x^2(x-1)

pour

x \geq 0

x^2 \geq 0

toujours, et

(x-1)

change de signe en

x = 1

. Donc

x^2(x-1) \leq 0

sur

[0;1]

x^2(x-1) \geq 0

sur

[1;+\infty[

$x^3 - x^2 < 0$ donc $x^3 < x^2$ , soit $0{,}125 < 0{,}25$ .

Étape 4 —

Conclure : sur

[0;1]

x^2 \leq x

x^3 \leq x^2

, soit

x^3 \leq x^2 \leq x

; sur

[1;+\infty[

x^2 \geq x

x^3 \geq x^2

, soit

x \leq x^2 \leq x^3

On a bien $x^3 < x^2 < x$ , soit $0{,}125 < 0{,}25 < 0{,}5$ .

Pour $x = 0{,}5 \in [0;1]$ : $x^3 < x^2 < x$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier la position relative de y=xy = xy=x, y=x2y = x^2y=x2, y=x3y = x^3y=x3 pour x≥0x \geq 0x≥0 ?

En calculant et en factorisant les différences x2−xx^2 - xx2−x et x3−x2x^3 - x^2x3−x2

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment étudier la position relative de $y = x$ , $y = x^2$ , $y = x^3$ pour $x \geq 0$ ?

En calculant et en factorisant les différences $x^2 - x$ et $x^3 - x^2$