Comment résoud… : En inversant algébriquement la relation — 2de | MetMat

Comment résoudre $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ pour une fonction de référence ?

En inversant algébriquement la relation

Résoudre algébriquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ en utilisant les formules d'inversion de chaque fonction de référence.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 = 9$ .

L'objectif

Résoudre algébriquement $f(x) = k$ ou $f(x) < k$ en utilisant les formules d'inversion de chaque fonction de référence.

Le principe

Chaque fonction de référence admet une ou plusieurs formules d'inversion qu'on applique directement après avoir vérifié les conditions sur $k$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $f$ et la valeur $k$ , et vérifier les conditions de validité : $k \geq 0$ pour $x^2 = k$ ou $\sqrt{x} = k$ ; $k \neq 0$ pour $\frac{1}{x} = k$ ; aucune condition pour $x^3 = k$ .
2
Appliquer la formule d'inversion : $x^2 = k \Rightarrow x = \sqrt{k}$ ou $x = -\sqrt{k}$ ; $\frac{1}{x} = k \Rightarrow x = \frac{1}{k}$ ; $\sqrt{x} = k \Rightarrow x = k^2$ ; $x^3 = k \Rightarrow x = \sqrt[3]{k}$ .
3
Pour une inéquation, utiliser la monotonie : traduire $f(x) < k$ en une inégalité sur $x$ en tenant compte du sens de variation de $f$ (l'inégalité se conserve si $f$ est croissante, s'inverse si $f$ est décroissante).
4
Conclure en précisant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 = 9$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

f

et la valeur

k

, et vérifier les conditions de validité :

k \geq 0

pour

x^2 = k

\sqrt{x} = k

;

k \neq 0

pour

\frac{1}{x} = k

; aucune condition pour

x^3 = k

$k = 9 \geq 0$ : la condition est vérifiée.

Étape 2 —

Appliquer la formule d'inversion :

x^2 = k \Rightarrow x = \sqrt{k}

x = -\sqrt{k}

;

\frac{1}{x} = k \Rightarrow x = \frac{1}{k}

;

\sqrt{x} = k \Rightarrow x = k^2

;

x^3 = k \Rightarrow x = \sqrt[3]{k}

$x^2 = 9 \Rightarrow x = \sqrt{9} = 3$ ou $x = -\sqrt{9} = -3$ .

Étape 3 —

Pour une inéquation, utiliser la monotonie : traduire

f(x) < k

en une inégalité sur

x

en tenant compte du sens de variation de

f

(l'inégalité se conserve si

f

est croissante, s'inverse si

f

est décroissante).

Il s'agit d'une équation : cette étape ne s'applique qu'aux inéquations.

Étape 4 —

Conclure en précisant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Les solutions sont $x = 3$ et $x = -3$ .

$\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}$ .

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Comment résoudre f(x)=kf(x) = kf(x)=k ou f(x)<kf(x) < kf(x)<k pour une fonction de référence ?

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