Comment vérifier que trois points sont alignés à l'aide des équations de droite ?

En déterminant l'équation de la droite passant par deux des points, puis en vérifiant que les coordonnées du troisième point satisfont cette équation

Vérifier si trois points donnés sont alignés (appartiennent tous à la même droite).

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Les points $A(1\,;\,3)$ , $B(3\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ sont-ils alignés ?

L'objectif

Vérifier si trois points donnés sont alignés (appartiennent tous à la même droite).

Le principe

Si un troisième point appartient à la droite définie par deux autres points, ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.

La méthode

1
Calculer le coefficient directeur de la droite passant par deux des trois points $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ .
Comment déterminer le coefficient directeur (pente) d'une droite ?Voir
2
Déterminer l'ordonnée à l'origine $p$ en substituant les coordonnées de l'un des deux points dans $y = mx + p$ .
Comment trouver l'équation réduite d'une droite ($y = mx + p$) ?Voir
3
Substituer les coordonnées du troisième point $C(x_C\,;\,y_C)$ dans l'équation $y = mx + p$ : si $y_C = mx_C + p$ , les trois points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Les points $A(1\,;\,3)$ , $B(3\,;\,7)$ et $C(5\,;\,11)$ sont-ils alignés ?

Étape 1 —

Calculer le coefficient directeur de la droite passant par deux des trois points

A(x_A\,;\,y_A)

et

B(x_B\,;\,y_B)

:

m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

.

Coefficient directeur de $(AB)$ : $m = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .

Étape 2 —

Déterminer l'ordonnée à l'origine

p

en substituant les coordonnées de l'un des deux points dans

y = mx + p

.

Ordonnée à l'origine : $3 = 2 \times 1 + p$ , donc $p = 1$ . L'équation de $(AB)$ est $y = 2x + 1$ .

Étape 3 —

Substituer les coordonnées du troisième point

C(x_C\,;\,y_C)

dans l'équation

y = mx + p

: si

y_C = mx_C + p

, les trois points sont alignés ; sinon, ils ne le sont pas.

On vérifie pour $C(5\,;\,11)$ : $2 \times 5 + 1 = 11$ ✓. Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ .

Les points $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

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