Comment étudier une fonction… : En dérivant et en déterminant variations… — 1re spé maths | MetMat

Comment étudier une fonction polynôme du second degré avec la dérivation ?

En dérivant et en déterminant variations, extremum, allure

Étudier complètement un polynôme du second degré par la dérivation.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ .

L'objectif

Étudier complètement un polynôme du second degré par la dérivation.

Le principe

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ , on a $f'(x) = 2ax + b$ qui s’annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ , sommet de la parabole.

La méthode

1
Je calcule $f'(x) = 2ax + b$ et je résous $f'(x) = 0$ : $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ .
2
J’étudie le signe de $f'$ : si $a > 0$ , $f' < 0$ avant $x_S$ et $f' > 0$ après ; si $a < 0$ , c’est l’inverse.
3
J’en déduis les variations : si $a > 0$ , $f$ décroissante puis croissante (minimum) ; si $a < 0$ , croissante puis décroissante (maximum).
4
Je calcule $f(x_S)$ (valeur de l’extremum) et je décris l’allure : parabole tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier les variations et l’extremum de $f(x) = 2x^2 - 8x + 3$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x) = 2ax + b

et je résous

f'(x) = 0

x_S = -\dfrac{b}{2a}

$f'(x) = 4x - 8$ . $f'(x) = 0 \iff x = 2$ .

Étape 2 —

J’étudie le signe de

f'

: si

a > 0

f' < 0

avant

x_S

f' > 0

après ; si

a < 0

, c’est l’inverse.

$a = 2 > 0$ donc $f'(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f'(x) > 0$ pour $x > 2$ .

Étape 3 —

J’en déduis les variations : si

a > 0

f

décroissante puis croissante (minimum) ; si

a < 0

, croissante puis décroissante (maximum).

$f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$ et croissante sur $[2\,;+\infty[$ : minimum en $x = 2$ .

Étape 4 —

Je calcule

f(x_S)

(valeur de l’extremum) et je décris l’allure : parabole tournée vers le haut si

a > 0

, vers le bas si

a < 0

$f(2) = 8 - 16 + 3 = -5$ . Parabole tournée vers le haut, sommet $(2\,;-5)$ .

$f$ admet un minimum $-5$ en $x = 2$ . Parabole tournée vers le haut.

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