Comment déterminer l’équation d’une tangente en un extremum ?

En utilisant $f'(a) = 0$ pour écrire la tangente horizontale

Écrire l’équation de la tangente à la courbe en un extremum.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 4x + 7$ en son extremum.

L'objectif

Écrire l’équation de la tangente à la courbe en un extremum.

Le principe

Si $f$ admet un extremum en $a$ et est dérivable en $a$ , alors $f'(a) = 0$ et la tangente a pour équation $y = f(a)$ (tangente horizontale).

La méthode

1
Je vérifie que $f'(a) = 0$ (condition nécessaire d’extremum en un point intérieur).
2
Je calcule $f(a)$ .
3
J’écris l’équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a) = f(a)$ (tangente horizontale).
Comment déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f(x) = x^2 - 4x + 7$ en son extremum.

Étape 1 —

Je vérifie que

f'(a) = 0

(condition nécessaire d’extremum en un point intérieur).

$f'(x) = 2x - 4$ . $f'(2) = 0$ : l’extremum est en $x = 2$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(a)

.

$f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$ .

Étape 3 —

J’écris l’équation de la tangente :

y = f'(a)(x - a) + f(a) = f(a)

(tangente horizontale).

La tangente en $(2\,;3)$ a pour équation $y = 3$ (tangente horizontale).

La tangente en l’extremum a pour équation $y = 3$ .

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Comment déterminer l’équation d’une tangente en un extremum ?

En utilisant f′(a)=0f'(a) = 0f′(a)=0 pour écrire la tangente horizontale

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant $f'(a) = 0$ pour écrire la tangente horizontale