Comment étudier la position relative de deux courbes ?

En étudiant le signe de $f(x) - g(x)$

Déterminer quelle courbe est au-dessus de l’autre sur un intervalle donné.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la position relative des courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer quelle courbe est au-dessus de l’autre sur un intervalle donné.

Le principe

Si $f(x) - g(x) \geq 0$ sur $I$ , alors $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $I$ .

La méthode

1
Je pose $d(x) = f(x) - g(x)$ .
2
J’étudie le signe de $d(x)$ (en résolvant $d(x) = 0$ et/ou en étudiant les variations de $d$ ).
3
J’en déduis les intervalles où $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ ( $d(x) \geq 0$ ) et inversement ( $d(x) \leq 0$ ).
4
J’identifie les éventuels points d’intersection ( $d(x) = 0$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la position relative des courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je pose

d(x) = f(x) - g(x)

.

$d(x) = x^2 - x = x(x - 1)$ .

Étape 2 —

J’étudie le signe de

d(x)

(en résolvant

d(x) = 0

et/ou en étudiant les variations de

d

).

$d(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 1$ . $d(x) > 0$ sur $]-\infty\,;0[ \cup ]1\,;+\infty[$ et $d(x) < 0$ sur $]0\,;1[$ .

Étape 3 —

J’en déduis les intervalles où

\mathcal{C}_f

est au-dessus de

\mathcal{C}_g

(

d(x) \geq 0

) et inversement (

d(x) \leq 0

).

$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty\,;0]$ et $[1\,;+\infty[$ , et en dessous sur $[0\,;1]$ .

Étape 4 —

J’identifie les éventuels points d’intersection (

d(x) = 0

).

Les courbes se coupent en $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$ .

$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ pour $x \leq 0$ et $x \geq 1$ , en dessous pour $0 \leq x \leq 1$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

En étudiant le signe de f(x)−g(x)f(x) - g(x)f(x)−g(x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le signe de $f(x) - g(x)$