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Comment établir une inégalité à l’aide des variations d’une fonction ?

En exploitant un extremum ou la monotonie

L'objectif

Démontrer une inégalité en utilisant les propriétés de variation d’une fonction.

Le principe

Si ff admet un minimum mm sur un intervalle II, alors f(x)≥mf(x) \geq m pour tout x∈Ix \in I.

La méthode
  1. 1
    Je définis une fonction auxiliaire ff à partir de l’inégalité à prouver (en passant tout d’un côté).
  2. 2
    Je calcule f′(x)f'(x) et j’étudie les variations de ff sur le domaine concerné.
  3. 3
    Je détermine le minimum (ou maximum) de ff et je vérifie son signe.
  4. 4
    J’en déduis l’inégalité demandée.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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