Comment établir une inégalité à l’aide des variations d’une fonction ?

En exploitant un extremum ou la monotonie

Démontrer une inégalité en utilisant les propriétés de variation d’une fonction.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que pour tout $x \geq 0$ , $x^2 + 1 \geq 2x$ .

L'objectif

Démontrer une inégalité en utilisant les propriétés de variation d’une fonction.

Le principe

Si $f$ admet un minimum $m$ sur un intervalle $I$ , alors $f(x) \geq m$ pour tout $x \in I$ .

La méthode

1
Je définis une fonction auxiliaire $f$ à partir de l’inégalité à prouver (en passant tout d’un côté).
2
Je calcule $f'(x)$ et j’étudie les variations de $f$ sur le domaine concerné.
3
Je détermine le minimum (ou maximum) de $f$ et je vérifie son signe.
4
J’en déduis l’inégalité demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que pour tout $x \geq 0$ , $x^2 + 1 \geq 2x$ .

Étape 1 —

Je définis une fonction auxiliaire

f

à partir de l’inégalité à prouver (en passant tout d’un côté).

On pose $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ sur $[0\,;+\infty[$ .

Étape 2 —

Je calcule

f'(x)

et j’étudie les variations de

f

sur le domaine concerné.

$f'(x) = 2x - 2$ . $f'(x) < 0$ sur $[0\,;1[$ et $f'(x) > 0$ sur $]1\,;+\infty[$ .

Étape 3 —

Je détermine le minimum (ou maximum) de

f

et je vérifie son signe.

$f$ admet un minimum en $x = 1$ : $f(1) = 0$ .

Étape 4 —

J’en déduis l’inégalité demandée.

Donc $f(x) \geq 0$ pour tout $x \geq 0$ , soit $x^2 + 1 \geq 2x$ .

Pour tout $x \geq 0$ , $x^2 + 1 \geq 2x$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ .

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