Comment démontrer qu’une fonction est constante sur un intervalle ?

En montrant que $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de l’intervalle

Prouver qu’une fonction est constante sur un intervalle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4x$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Prouver qu’une fonction est constante sur un intervalle.

Le principe

Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ sur l’intervalle $I$ .
2
Je montre que $f'(x) = 0$ pour tout $x \in I$ .
3
J’en déduis que $f$ est constante sur $I$ , et je détermine la constante en calculant $f$ en un point.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2 - 4x$ est constante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je calcule

f'(x)

sur l’intervalle

I

.

$f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 - 4x = 0$ . On peut aussi dériver : $f'(x) = 2(x+1) - 2(x-1) - 4 = 2x + 2 - 2x + 2 - 4 = 0$ .

Étape 2 —

Je montre que

f'(x) = 0

pour tout

x \in I

.

$f'(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Étape 3 —

J’en déduis que

f

est constante sur

I

, et je détermine la constante en calculant

f

en un point.

$f$ est constante. $f(0) = 1 - 1 - 0 = 0$ . Donc $f(x) = 0$ pour tout $x$ .

$f$ est la fonction constante égale à $0$ sur $\mathbb{R}$ .

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Comment démontrer qu’une fonction est constante sur un intervalle ?

En montrant que f′(x)=0f'(x) = 0f′(x)=0 pour tout xxx de l’intervalle

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de l’intervalle