En listant toutes les valeurs de $X$ et en calculant $P(X = x_i)$

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ définie sur un univers fini.

L'objectif

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ définie sur un univers fini.

Le principe

On repère toutes les valeurs $x_1, x_2, \ldots, x_k$ prises par $X$ , puis on calcule $P(X = x_i)$ pour chaque valeur en sommant les probabilités des issues correspondantes. On vérifie que $\sum P(X = x_i) = 1$ .

La méthode

1
Décrire l'univers $\Omega$ de l'expérience aléatoire et identifier la variable aléatoire $X$ comme une fonction numérique sur $\Omega$ .
2
Lister toutes les valeurs distinctes $x_1, x_2, \ldots, x_k$ prises par $X$ .
3
Pour chaque valeur $x_i$ , calculer $P(X = x_i)$ en sommant les probabilités des issues vérifiant $X(\omega) = x_i$ .
4
Présenter le résultat dans un tableau de loi. Vérifier que $\sum P(X = x_i) = 1$ .

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Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés. La variable aléatoire $X$ est la somme des deux résultats. Déterminer la loi de $X$ .

Étape 1 —

Décrire l'univers

\Omega

de l'expérience aléatoire et identifier la variable aléatoire

X

comme une fonction numérique sur

\Omega

L'univers est $\Omega = \{(i,j) \mid 1 \leq i,j \leq 6\}$ avec $36$ issues équiprobables. $X(i,j) = i + j$ .

Étape 2 —

Lister toutes les valeurs distinctes

x_1, x_2, \ldots, x_k

prises par

X

$X$ prend les valeurs $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ .

Étape 3 —

Pour chaque valeur

x_i

, calculer

P(X = x_i)

en sommant les probabilités des issues vérifiant

X(\omega) = x_i

On compte les couples pour chaque somme : $P(X=2) = \dfrac{1}{36}$ , $P(X=3) = \dfrac{2}{36}$ , $P(X=4) = \dfrac{3}{36}$ , $P(X=5) = \dfrac{4}{36}$ , $P(X=6) = \dfrac{5}{36}$ , $P(X=7) = \dfrac{6}{36}$ , $P(X=8) = \dfrac{5}{36}$ , $P(X=9) = \dfrac{4}{36}$ , $P(X=10) = \dfrac{3}{36}$ , $P(X=11) = \dfrac{2}{36}$ , $P(X=12) = \dfrac{1}{36}$ .

Étape 4 —

Présenter le résultat dans un tableau de loi. Vérifier que

\sum P(X = x_i) = 1

Vérification : $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36$ , soit $\dfrac{36}{36} = 1$ . ✓

La loi de $X$ est donnée par le tableau ci-dessus, avec $P(X = k) = \dfrac{6 - |k-7|}{36}$ pour $k \in \{2, \ldots, 12\}$ .

Application guidée

On tire une carte au hasard dans un jeu de $32$ cartes. $X$ vaut $10$ si c'est un as, $5$ si c'est un roi, et $0$ sinon. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 1

On lance une pièce équilibrée trois fois. $X$ est le nombre de « pile » obtenus. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 2

Une urne contient $3$ boules rouges, $4$ boules vertes et $3$ boules bleues. On tire une boule au hasard. $X$ vaut $5$ si la boule est rouge, $2$ si elle est verte et $-3$ si elle est bleue. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 3

On interroge une personne au hasard dans un groupe où $40\,\%$ des membres ont $0$ enfant, $35\,\%$ en ont $1$ , $20\,\%$ en ont $2$ et $5\,\%$ en ont $3$ . $X$ est le nombre d'enfants de la personne interrogée. Déterminer la loi de $X$ .

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En listant toutes les valeurs de XXX et en calculant P(X=xi)P(X = x_i)P(X=xi​)

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En listant toutes les valeurs de $X$ et en calculant $P(X = x_i)$