Comment modéliser une situation à… : En identifiant l'expérience, les valeurs… — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une situation à l'aide d'une variable aléatoire ?

En identifiant l'expérience, les valeurs possibles et les probabilités

Traduire un problème concret en une variable aléatoire dont on détermine la loi de probabilité.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire $2$ boules simultanément. On souhaite étudier le nombre de boules rouges tirées.

L'objectif

Traduire un problème concret en une variable aléatoire dont on détermine la loi de probabilité.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue de l'expérience aléatoire un nombre réel. Pour modéliser, on identifie l'univers $\Omega$ , on choisit la grandeur numérique pertinente, et on détermine sa loi.

La méthode

1
Identifier l'expérience aléatoire et décrire l'univers $\Omega$ (toutes les issues possibles).
2
Choisir la grandeur numérique qui traduit le problème et la noter $X$ : c'est la variable aléatoire.
3
Lister les valeurs prises par $X$ et calculer la probabilité de chaque événement $\{X = x_i\}$ .
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
4
Vérifier la cohérence : $\sum P(X = x_i) = 1$ . Interpréter le résultat dans le contexte.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire $2$ boules simultanément. On souhaite étudier le nombre de boules rouges tirées.

Étape 1 —

Identifier l'expérience aléatoire et décrire l'univers

\Omega

(toutes les issues possibles).

L'expérience est le tirage simultané de $2$ boules parmi $5$ . L'univers contient $\binom{5}{2} = 10$ tirages équiprobables.

Étape 2 —

Choisir la grandeur numérique qui traduit le problème et la noter

X

: c'est la variable aléatoire.

On pose $X$ = nombre de boules rouges tirées.

Étape 3 —

Lister les valeurs prises par

X

et calculer la probabilité de chaque événement

\{X = x_i\}

$X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ . $P(X=0) = \dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X=1) = \dfrac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{6}{10}$ ; $P(X=2) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}$ .

Étape 4 —

Vérifier la cohérence :

\sum P(X = x_i) = 1

. Interpréter le résultat dans le contexte.

Vérification : $\dfrac{1+6+3}{10} = 1$ . ✓ $X$ modélise bien le nombre de boules rouges.

$X$ = nombre de boules rouges ; loi : $P(X=0) = \dfrac{1}{10}$ , $P(X=1) = \dfrac{3}{5}$ , $P(X=2) = \dfrac{3}{10}$ .

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