Comment modéliser une situation à l'aide d'une variable aléatoire ?

En identifiant l'expérience, les valeurs possibles et les probabilités

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire $2$ boules simultanément. On souhaite étudier le nombre de boules rouges tirées.

La méthode

1
Identifier l'expérience aléatoire et décrire l'univers $\Omega$ (toutes les issues possibles).
2
Choisir la grandeur numérique qui traduit le problème et la noter $X$ : c'est la variable aléatoire.
3
Lister les valeurs prises par $X$ et calculer la probabilité de chaque événement $\{X = x_i\}$ .
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
4
Vérifier la cohérence : $\sum P(X = x_i) = 1$ . Interpréter le résultat dans le contexte.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire $2$ boules simultanément. On souhaite étudier le nombre de boules rouges tirées.

1

L'expérience est le tirage simultané de $2$ boules parmi $5$ . L'univers contient $\binom{5}{2} = 10$ tirages équiprobables.

2

On pose $X$ = nombre de boules rouges tirées.

3

$X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ . $P(X=0) = \dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X=1) = \dfrac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{6}{10}$ ; $P(X=2) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}$ .

4

Vérification : $\dfrac{1+6+3}{10} = 1$ . ✓ $X$ modélise bien le nombre de boules rouges.

$X$ = nombre de boules rouges ; loi : $P(X=0) = \dfrac{1}{10}$ , $P(X=1) = \dfrac{3}{5}$ , $P(X=2) = \dfrac{3}{10}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.