En identifiant l'expérience, les valeurs possibles et les probabilités

Traduire un problème concret en une variable aléatoire dont on détermine la loi de probabilité.

L'objectif

Traduire un problème concret en une variable aléatoire dont on détermine la loi de probabilité.

Le principe

Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe à chaque issue de l'expérience aléatoire un nombre réel. Pour modéliser, on identifie l'univers $\Omega$ , on choisit la grandeur numérique pertinente, et on détermine sa loi.

La méthode

1
Identifier l'expérience aléatoire et décrire l'univers $\Omega$ (toutes les issues possibles).
2
Choisir la grandeur numérique qui traduit le problème et la noter $X$ : c'est la variable aléatoire.
3
Lister les valeurs prises par $X$ et calculer la probabilité de chaque événement $\{X = x_i\}$ .
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
4
Vérifier la cohérence : $\sum P(X = x_i) = 1$ . Interpréter le résultat dans le contexte.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un sac contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On tire $2$ boules simultanément. On souhaite étudier le nombre de boules rouges tirées.

Étape 1 —

Identifier l'expérience aléatoire et décrire l'univers

\Omega

(toutes les issues possibles).

L'expérience est le tirage simultané de $2$ boules parmi $5$ . L'univers contient $\binom{5}{2} = 10$ tirages équiprobables.

Étape 2 —

Choisir la grandeur numérique qui traduit le problème et la noter

X

: c'est la variable aléatoire.

On pose $X$ = nombre de boules rouges tirées.

Étape 3 —

Lister les valeurs prises par

X

et calculer la probabilité de chaque événement

\{X = x_i\}

$X$ prend les valeurs $0, 1, 2$ . $P(X=0) = \dfrac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{1}{10}$ ; $P(X=1) = \dfrac{\binom{3}{1}\binom{2}{1}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{6}{10}$ ; $P(X=2) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}$ .

Étape 4 —

Vérifier la cohérence :

\sum P(X = x_i) = 1

. Interpréter le résultat dans le contexte.

Vérification : $\dfrac{1+6+3}{10} = 1$ . ✓ $X$ modélise bien le nombre de boules rouges.

$X$ = nombre de boules rouges ; loi : $P(X=0) = \dfrac{1}{10}$ , $P(X=1) = \dfrac{3}{5}$ , $P(X=2) = \dfrac{3}{10}$ .

Application guidée

Un QCM comporte $4$ questions à $3$ choix. Un élève répond au hasard. On s'intéresse au nombre de bonnes réponses.

Application autonome 1

Un commerçant vend un produit $5$ \text{€} pièce. Chaque jour, la demande est de $0$ , $1$ ou $2$ produits avec des probabilités respectives $0{,}2$ , $0{,}5$ , $0{,}3$ . On modélise son chiffre d'affaires quotidien.

Application autonome 2

Une urne contient $5$ jetons numérotés de $1$ à $5$ . On tire un jeton au hasard. On s'intéresse au reste de sa division par $3$ .

Application autonome 3

On lance deux pièces équilibrées. On gagne $3$ \text{€} pour chaque pile et rien pour les faces. On modélise le gain total.

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