Comment utiliser l'espérance pour résoudre un problème de jeu équitable ?

En modélisant le gain par une VA et en calculant $E(X)$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré. Si on obtient $6$ , on gagne $10$ \text{€} ; sinon, on perd $2$ \text{€}. Le jeu est-il équitable ?

La méthode

1
Définir la variable aléatoire $G$ représentant le gain algébrique du joueur (gain reçu moins mise payée).
2
Déterminer la loi de probabilité de $G$ .
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
3
Calculer $E(G) = \sum g_i \cdot P(G = g_i)$ .
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?Voir
4
Conclure : si $E(G) = 0$ , le jeu est équitable ; si $E(G) > 0$ , il est favorable au joueur ; si $E(G) < 0$ , il est défavorable.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré. Si on obtient $6$ , on gagne $10$ \text{€} ; sinon, on perd $2$ \text{€}. Le jeu est-il équitable ?

1

On pose $G$ le gain algébrique : $G = 10$ si on obtient $6$ , $G = -2$ sinon.

2

$P(G = 10) = \dfrac{1}{6}$ et $P(G = -2) = \dfrac{5}{6}$ .

3

$E(G) = 10 \times \dfrac{1}{6} + (-2) \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{6} - \dfrac{10}{6} = 0$ .

4

$E(G) = 0$ donc le jeu est équitable.

Le jeu est équitable car $E(G) = 0$ .

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Comment utiliser l'espérance pour résoudre un problème de jeu équitable ?

En modélisant le gain par une VA et en calculant E(X)E(X)E(X)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En modélisant le gain par une VA et en calculant $E(X)$