En appliquant $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$

Calculer l'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ à partir de sa loi de probabilité.

L'objectif

Calculer l'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire $X$ à partir de sa loi de probabilité.

Le principe

L'espérance est la moyenne pondérée des valeurs de $X$ par leurs probabilités : $E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot P(X = x_i)$ . Elle représente la valeur que l'on s'attend à obtenir « en moyenne » sur un grand nombre de répétitions.

La méthode

1
Écrire (ou rappeler) la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
Comment déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire ?Voir
2
Calculer chaque produit $x_i \times P(X = x_i)$ .
3
Sommer tous ces produits pour obtenir $E(X)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La variable $X$ a pour loi : $P(X=1) = 0{,}2$ , $P(X=3) = 0{,}5$ , $P(X=7) = 0{,}3$ . Calculer $E(X)$ .

Étape 1 —

Écrire (ou rappeler) la loi de probabilité de

X

sous forme de tableau.

Loi : $X$ prend les valeurs $1$ , $3$ , $7$ avec les probabilités $0{,}2$ , $0{,}5$ , $0{,}3$ .

Étape 2 —

Calculer chaque produit

x_i \times P(X = x_i)

$1 \times 0{,}2 = 0{,}2$ ; $3 \times 0{,}5 = 1{,}5$ ; $7 \times 0{,}3 = 2{,}1$ .

Étape 3 —

Sommer tous ces produits pour obtenir

E(X)

$E(X) = 0{,}2 + 1{,}5 + 2{,}1 = 3{,}8$ .

$E(X) = 3{,}8$

Application guidée

On lance un dé équilibré à $6$ faces. $X$ est le résultat obtenu. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 1

On lance une pièce équilibrée trois fois. $X$ est le nombre de « pile ». Calculer $E(X)$ .

Application autonome 2

Dans un jeu de grattage, la variable $X$ représente le gain en euros et suit la loi : $P(X=0)=0{,}75$ , $P(X=2)=0{,}2$ , $P(X=50)=0{,}05$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 3

Un livreur à vélo fait $X$ trajets en une journée : $P(X=4)=\dfrac{1}{6}$ , $P(X=5)=\dfrac{1}{3}$ , $P(X=6)=\dfrac{1}{3}$ , $P(X=7)=\dfrac{1}{6}$ . Combien de trajets fait-il en moyenne ?

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En appliquant E(X)=∑xi⋅P(X=xi)E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)E(X)=∑xi​⋅P(X=xi​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$