Cercle trigonométrique et… : Déterminer le cosinus et le sinus d'un… — 1re spé maths | MetMat

Cercle trigonométrique et placement de points

Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle en radians

Déterminer $\cos(t)$ et $\sin(t)$ en lisant les coordonnées du point image sur le cercle trigonométrique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ .

L'objectif

Déterminer $\cos(t)$ et $\sin(t)$ en lisant les coordonnées du point image sur le cercle trigonométrique.

Le principe

Le cosinus est l'abscisse et le sinus est l'ordonnée du point $M(t)$ sur le cercle unité.

La méthode

1
Je place le point $M(t)$ sur le cercle trigonométrique (en utilisant la méthode de placement).
2
Je projette $M$ sur l'axe des abscisses pour lire $\cos(t)$ , puis sur l'axe des ordonnées pour lire $\sin(t)$ .
3
Je vérifie le signe attendu grâce au quadrant : $\cos > 0$ en I et IV, $\sin > 0$ en I et II.
4
Je donne les valeurs exactes et je vérifie avec $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer $\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ .

Étape 1 —

Je place le point

M(t)

sur le cercle trigonométrique (en utilisant la méthode de placement).

Le point $M\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ se situe dans le deuxième quadrant car $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{2\pi}{3} < \pi$ .

Étape 2 —

Je projette

M

sur l'axe des abscisses pour lire

\cos(t)

, puis sur l'axe des ordonnées pour lire

\sin(t)

$\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ . Le point est le symétrique de $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ par rapport à l'axe $(Oy)$ . On projette : abscisse $= -\dfrac{1}{2}$ , ordonnée $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 3 —

Je vérifie le signe attendu grâce au quadrant :

\cos > 0

en I et IV,

\sin > 0

en I et II.

Quadrant II : $\cos < 0$ et $\sin > 0$ , ce qui est cohérent avec $-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Étape 4 —

Je donne les valeurs exactes et je vérifie avec

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1

Vérification : $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$ \checkmark.

$\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

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