Cercle trigonométrique et… : Valeurs remarquables de cosinus et sinus — 1re spé maths | MetMat

Cercle trigonométrique et placement de points

Valeurs remarquables de cosinus et sinus

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par le calcul.

La méthode

1
Je construis le triangle rectangle adapté : isocèle (pour $\dfrac{\pi}{4}$ ) ou demi-triangle équilatéral (pour $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ ).
2
J'applique le théorème de Pythagore pour déterminer les longueurs manquantes.
3
J'utilise $\cos(t) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin(t) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ pour lire les valeurs.
4
Je vérifie avec la relation $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par le calcul.

On considère un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse $1$ et d'angle aigu $\dfrac{\pi}{4}$ .

Les deux côtés égaux valent $c$ . Par Pythagore : $c^2 + c^2 = 1$ , soit $2c^2 = 1$ , donc $c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Vérification : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ \checkmark.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

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