Valeurs remarquables de cosinus et sinus

Retrouver les valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$ des angles remarquables du premier quadrant.

L'objectif

Retrouver les valeurs exactes de $\cos$ et $\sin$ des angles remarquables du premier quadrant.

Le principe

On utilise un triangle rectangle isocèle ou un demi-triangle équilatéral, puis le théorème de Pythagore.

La méthode

1
Je construis le triangle rectangle adapté : isocèle (pour $\dfrac{\pi}{4}$ ) ou demi-triangle équilatéral (pour $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ ).
2
J'applique le théorème de Pythagore pour déterminer les longueurs manquantes.
3
J'utilise $\cos(t) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ et $\sin(t) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$ pour lire les valeurs.
4
Je vérifie avec la relation $\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1$ .

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Exercice d'exemple

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ par le calcul.

Étape 1 —

Je construis le triangle rectangle adapté : isocèle (pour

\dfrac{\pi}{4}

) ou demi-triangle équilatéral (pour

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{3}

On considère un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse $1$ et d'angle aigu $\dfrac{\pi}{4}$ .

Étape 2 —

J'applique le théorème de Pythagore pour déterminer les longueurs manquantes.

Les deux côtés égaux valent $c$ . Par Pythagore : $c^2 + c^2 = 1$ , soit $2c^2 = 1$ , donc $c = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 3 —

J'utilise

\cos(t) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}

\sin(t) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}

pour lire les valeurs.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{c}{1} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Étape 4 —

Je vérifie avec la relation

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1

Vérification : $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ \checkmark.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Application guidée

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ par le calcul.

Application autonome 1

Retrouver $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$ par le calcul.

Application autonome 2

Retrouver $\cos(\pi)$ et $\sin(\pi)$ à l'aide du cercle trigonométrique.

Application autonome 3

Retrouver $\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ à partir des valeurs remarquables du triangle isocèle rectangle.

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