En appliquant itérativement la relation de récurrence

Calculer les termes d'une suite définie par récurrence en itérant depuis le terme initial.

L'objectif

Calculer les termes d'une suite définie par récurrence en itérant depuis le terme initial.

Le principe

On part du terme initial et on applique la relation $u_{n+1} = f(u_n)$ autant de fois que nécessaire pour atteindre le rang voulu.

La méthode

1
Repérer le terme initial $u_0$ (ou $u_1$ ) et la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ .
2
Calculer les termes successifs en appliquant la relation pas à pas jusqu'au rang demandé.

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

Étape 1 —

Repérer le terme initial

u_0

(ou

u_1

) et la relation de récurrence

u_{n+1} = f(u_n)

Terme initial : $u_0 = 3$ . Relation : $u_{n+1} = 2u_n - 1$ .

Étape 2 —

Calculer les termes successifs en appliquant la relation pas à pas jusqu'au rang demandé.

$u_1 = 2 \times 3 - 1 = 5$ . $u_2 = 2 \times 5 - 1 = 9$ . $u_3 = 2 \times 9 - 1 = 17$ .

$u_1 = 5$ , $u_2 = 9$ , $u_3 = 17$

Application guidée

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 1000$ et $v_{n+1} = 0{,}9 \times v_n + 50$ . Calculer $v_1$ , $v_2$ et $v_3$ .

Application autonome 1

Soit $(w_n)$ définie par $w_1 = 2$ et $w_{n+1} = w_n^2 - 1$ . Calculer $w_2$ , $w_3$ et $w_4$ .

Application autonome 2

Soit $(a_n)$ définie par $a_0 = 5$ et $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ . Calculer $a_1$ , $a_2$ et $a_3$ .

Application autonome 3

Une population de bactéries double chaque heure et perd $10$ individus. Initialement, il y en a $50$ . Soit $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures : $u_0 = 50$ et $u_{n+1} = 2u_n - 10$ . Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ .

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