En vérifiant que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

Déterminer si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants.

L'objectif

Déterminer si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants.

Le principe

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ . C'est équivalent à $P_A(B) = P(B)$ (la connaissance de $A$ ne change pas la probabilité de $B$ ).

La méthode

1
Je calcule $P(A \cap B)$ à l'aide d'un arbre, d'un tableau ou de la formule $P(A) \times P_A(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
2
Je calcule le produit $P(A) \times P(B)$ .
3
Je compare : si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ , les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à six faces. $A$ : « obtenir un nombre pair », $B$ : « obtenir un multiple de 3 ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Étape 1 —

Je calcule

P(A \cap B)

à l'aide d'un arbre, d'un tableau ou de la formule

P(A) \times P_A(B)

$A = \{2, 4, 6\}$ , $B = \{3, 6\}$ , $A \cap B = \{6\}$ , donc $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$ .

Étape 2 —

Je calcule le produit

P(A) \times P(B)

$P(A) \times P(B) = \dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .

Étape 3 —

Je compare : si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

, les événements sont indépendants ; sinon, ils ne le sont pas.

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{6}$ : les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

$A$ et $B$ sont indépendants.

Application guidée

On tire une carte dans un jeu de 32. $A$ : « obtenir un roi », $B$ : « obtenir un pique ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Application autonome 1

On lance deux fois une pièce équilibrée. $A$ : « pile au premier lancer », $B$ : « les deux résultats sont identiques ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Application autonome 2

Dans une classe, $40\,\%$ des élèves font du sport ( $S$ ) et $30\,\%$ jouent d'un instrument ( $I$ ). $20\,\%$ font les deux. $S$ et $I$ sont-ils indépendants ?

Application autonome 3

On tire une carte dans un jeu de $52$ cartes. $A$ : « obtenir une figure (valet, dame ou roi) », $B$ : « obtenir un cœur ». $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

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En vérifiant que P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)P(A∩B)=P(A)×P(B)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$