Comment construire et utiliser un… : En calculant avec la formule des… — 1re spé maths | MetMat

Comment construire et utiliser un tableau croisé d'effectifs ?

En calculant avec la formule des probabilités totales

Calculer $P(B)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine a deux ateliers. L'atelier $A_1$ produit $70\,\%$ des pièces avec $2\,\%$ de défauts. L'atelier $A_2$ produit $30\,\%$ des pièces avec $5\,\%$ de défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ( $D$ ).

L'objectif

Calculer $P(B)$ en utilisant la formule des probabilités totales.

Le principe

Si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l'univers, alors $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ . On décompose le calcul selon les différents « chemins » menant à $B$ .

La méthode

1
J'identifie une partition de l'univers $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ adaptée au problème (souvent $A$ et $\overline{A}$ ).
2
Je relève ou je calcule $P(A_i)$ et $P_{A_i}(B)$ pour chaque élément de la partition.
3
J'applique la formule : $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots$
4
Je calcule et je simplifie le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie une partition de l'univers

(A_1, A_2, \ldots, A_n)

adaptée au problème (souvent

A

\overline{A}

La partition est $(A_1, A_2)$ avec $P(A_1) = 0{,}7$ et $P(A_2) = 0{,}3$ .

Étape 2 —

Je relève ou je calcule

P(A_i)

P_{A_i}(B)

pour chaque élément de la partition.

$P_{A_1}(D) = 0{,}02$ et $P_{A_2}(D) = 0{,}05$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots

$P(D) = P(A_1) \times P_{A_1}(D) + P(A_2) \times P_{A_2}(D) = 0{,}7 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}05$ .

Étape 4 —

Je calcule et je simplifie le résultat.

$P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$ .

$P(D) = 0{,}029$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.