Comment appliquer la formule des… : En inversant un conditionnement (formule… — 1re spé maths | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En inversant un conditionnement (formule de Bayes)

Calculer $P_B(A)$ lorsqu'on connaît $P_A(B)$ , $P(A)$ et $P(B)$ (ou les éléments pour les retrouver).

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec le test de dépistage précédent ( $P(M)=0{,}02$ , $P_M(T^+)=0{,}95$ , $P_{\overline{M}}(T^+)=0{,}04$ ), calculer la probabilité qu'un individu testé positif soit effectivement malade.

L'objectif

Calculer $P_B(A)$ lorsqu'on connaît $P_A(B)$ , $P(A)$ et $P(B)$ (ou les éléments pour les retrouver).

Le principe

On utilise la définition $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ en calculant le numérateur par $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ et le dénominateur par la formule des probabilités totales.

La méthode

1
Je calcule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
2
Je calcule $P(B)$ par la formule des probabilités totales si nécessaire.
3
J'applique $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Avec le test de dépistage précédent ( $P(M)=0{,}02$ , $P_M(T^+)=0{,}95$ , $P_{\overline{M}}(T^+)=0{,}04$ ), calculer la probabilité qu'un individu testé positif soit effectivement malade.

Étape 1 —

Je calcule

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

$P(M \cap T^+) = P(M) \times P_M(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$ .

Étape 2 —

Je calcule

P(B)

par la formule des probabilités totales si nécessaire.

$P(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}04 = 0{,}0582$ .

Étape 3 —

J'applique

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

et je conclus.

$P_{T^+}(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}326$ . Seulement environ $32{,}6\,\%$ des positifs sont malades (faux positifs nombreux).

$P_{T^+}(M) \approx 0{,}326$ , soit environ $32{,}6\,\%$ .

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