En décomposant avec un système complet d'événements

Calculer $P(B)$ lorsque l'on connaît les probabilités de $B$ sachant chaque événement d'une partition de l'univers.

L'objectif

Calculer $P(B)$ lorsque l'on connaît les probabilités de $B$ sachant chaque événement d'une partition de l'univers.

Le principe

Si $A_1, A_2, \ldots, A_k$ forment une partition de $\Omega$ (événements incompatibles dont la réunion est $\Omega$ ), alors $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_k) \times P_{A_k}(B)$ .

La méthode

1
J'identifie une partition de l'univers $(A_1, A_2, \ldots)$ adaptée au problème — en classe de première, c'est souvent $(A, \overline{A})$ .
2
J'écris la décomposition : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
3
Je substitue les valeurs numériques connues et je calcule $P(B)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une usine possède deux machines $M_1$ et $M_2$ . $M_1$ produit $60\,\%$ des pièces, $M_2$ produit $40\,\%$ . Le taux de défaut est $3\,\%$ pour $M_1$ et $5\,\%$ pour $M_2$ . Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.

Étape 1 —

J'identifie une partition de l'univers

(A_1, A_2, \ldots)

adaptée au problème — en classe de première, c'est souvent

(A, \overline{A})

$(M_1, M_2)$ est un système complet : $P(M_1) = 0{,}6$ et $P(M_2) = 0{,}4$ .

Étape 2 —

J'écris la décomposition :

P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

On écrit $P(D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) + P(M_2) \times P_{M_2}(D)$ .

Étape 3 —

Je substitue les valeurs numériques connues et je calcule

P(B)

$P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038$ .

$P(D) = 0{,}038$ , soit $3{,}8\,\%$ .

Application guidée

Un sac contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues. On tire une boule : si elle est rouge on lance un dé équilibré, si elle est bleue on lance une pièce (pile = succès). Quelle est la probabilité d'obtenir un succès (6 au dé ou pile) ?

Application autonome 1

Un test de dépistage est proposé. $2\,\%$ de la population est malade. Le test est positif dans $95\,\%$ des cas chez les malades et dans $4\,\%$ des cas chez les non-malades. Quelle est la probabilité d'avoir un test positif ?

Application autonome 2

Dans un stock de tablettes, $70\,\%$ viennent du fournisseur $A$ et $30\,\%$ du fournisseur $B$ . Le taux de panne est de $2\,\%$ chez $A$ et $8\,\%$ chez $B$ . Quelle est la probabilité qu'une tablette choisie au hasard tombe en panne ?

Application autonome 3

Un enquêteur passe au hasard dans une rue où $45\,\%$ des habitants sont salariés ( $S$ ), $15\,\%$ retraités ( $R$ ) et $40\,\%$ étudiants ou sans emploi ( $E$ ). La probabilité qu'un habitant accepte de répondre est $0{,}6$ chez $S$ , $0{,}9$ chez $R$ et $0{,}4$ chez $E$ . Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre ?

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