En inversant un conditionnement (formule de Bayes)

Calculer $P_B(A)$ lorsqu'on connaît $P_A(B)$ , $P(A)$ et $P(B)$ (ou les éléments pour les retrouver).

L'objectif

Calculer $P_B(A)$ lorsqu'on connaît $P_A(B)$ , $P(A)$ et $P(B)$ (ou les éléments pour les retrouver).

Le principe

On utilise la définition $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ en calculant le numérateur par $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ et le dénominateur par la formule des probabilités totales.

La méthode

1
Je calcule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
2
Je calcule $P(B)$ par la formule des probabilités totales si nécessaire.
3
J'applique $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Avec le test de dépistage précédent ( $P(M)=0{,}02$ , $P_M(T^+)=0{,}95$ , $P_{\overline{M}}(T^+)=0{,}04$ ), calculer la probabilité qu'un individu testé positif soit effectivement malade.

Étape 1 —

Je calcule

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

$P(M \cap T^+) = P(M) \times P_M(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 = 0{,}019$ .

Étape 2 —

Je calcule

P(B)

par la formule des probabilités totales si nécessaire.

$P(T^+) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}04 = 0{,}0582$ .

Étape 3 —

J'applique

P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}

et je conclus.

$P_{T^+}(M) = \dfrac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}326$ . Seulement environ $32{,}6\,\%$ des positifs sont malades (faux positifs nombreux).

$P_{T^+}(M) \approx 0{,}326$ , soit environ $32{,}6\,\%$ .

Application guidée

Dans l'usine précédente ( $P(M_1)=0{,}6$ , $P_{M_1}(D)=0{,}03$ , $P(M_2)=0{,}4$ , $P_{M_2}(D)=0{,}05$ ), sachant qu'une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle provienne de $M_1$ ?

Application autonome 1

Un contrôle qualité porte sur des fruits. $70\,\%$ sont bio (B), $30\,\%$ ne le sont pas. Un fruit bio a $90\,\%$ de chances de passer le test (T), un non-bio a $20\,\%$ de chances. Un fruit passe le test : quelle est la probabilité qu'il soit bio ?

Application autonome 2

Dans une école, $40\,\%$ des élèves étudient l'allemand ( $A$ ). $80\,\%$ des germanistes et $30\,\%$ des non-germanistes participent à un échange scolaire ( $E$ ). Sachant qu'un élève participe à un échange, quelle est la probabilité qu'il étudie l'allemand ?

Application autonome 3

Un smartphone vient de $S_1$ ( $60\,\%$ ) ou $S_2$ ( $40\,\%$ ). La probabilité qu'il soit sous garantie active au bout d'un an est $0{,}95$ pour $S_1$ et $0{,}80$ pour $S_2$ . Un smartphone est encore sous garantie : quelle est la probabilité qu'il vienne de $S_2$ ?

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