Comment appliquer la formule des… : En décomposant avec un système complet… — 1re spé maths | MetMat

Comment appliquer la formule des probabilités totales ?

En décomposant avec un système complet d'événements

Calculer $P(B)$ lorsque l'on connaît les probabilités de $B$ sachant chaque événement d'une partition de l'univers.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine possède deux machines $M_1$ et $M_2$ . $M_1$ produit $60\,\%$ des pièces, $M_2$ produit $40\,\%$ . Le taux de défaut est $3\,\%$ pour $M_1$ et $5\,\%$ pour $M_2$ . Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.

L'objectif

Calculer $P(B)$ lorsque l'on connaît les probabilités de $B$ sachant chaque événement d'une partition de l'univers.

Le principe

Si $A_1, A_2, \ldots, A_k$ forment une partition de $\Omega$ (événements incompatibles dont la réunion est $\Omega$ ), alors $P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_k) \times P_{A_k}(B)$ .

La méthode

1
J'identifie une partition de l'univers $(A_1, A_2, \ldots)$ adaptée au problème — en classe de première, c'est souvent $(A, \overline{A})$ .
2
J'écris la décomposition : $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$ .
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
3
Je substitue les valeurs numériques connues et je calcule $P(B)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie une partition de l'univers

(A_1, A_2, \ldots)

adaptée au problème — en classe de première, c'est souvent

(A, \overline{A})

$(M_1, M_2)$ est un système complet : $P(M_1) = 0{,}6$ et $P(M_2) = 0{,}4$ .

Étape 2 —

J'écris la décomposition :

P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

On écrit $P(D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) + P(M_2) \times P_{M_2}(D)$ .

Étape 3 —

Je substitue les valeurs numériques connues et je calcule

P(B)

$P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038$ .

$P(D) = 0{,}038$ , soit $3{,}8\,\%$ .

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