Comment construire et utiliser un… : En plaçant les probabilités… — 1re spé maths | MetMat

Comment construire et utiliser un arbre pondéré ?

En plaçant les probabilités conditionnelles sur les branches

Construire un arbre pondéré complet à partir des données d'un énoncé.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine a deux machines. La machine $M_1$ produit $60\,\%$ des pièces et la machine $M_2$ produit $40\,\%$ . $5\,\%$ des pièces de $M_1$ sont défectueuses ( $D$ ) et $8\,\%$ des pièces de $M_2$ sont défectueuses. Construire l'arbre pondéré et calculer $P(M_1 \cap D)$ .

L'objectif

Construire un arbre pondéré complet à partir des données d'un énoncé.

Le principe

Au premier niveau, on place les probabilités des événements. Au second niveau, on place les probabilités conditionnelles. À chaque nœud, la somme des probabilités des branches filles vaut $1$ .

La méthode

1
Je choisis la partition du premier niveau (par exemple $A$ et $\overline{A}$ ) et je place les probabilités $P(A)$ et $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ sur les branches.
2
Pour chaque branche du premier niveau, je place les probabilités conditionnelles au second niveau : $P_A(B)$ , $P_A(\overline{B})$ , $P_{\overline{A}}(B)$ , $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .
3
Je vérifie que la somme des probabilités des branches issues de chaque nœud vaut $1$ .
4
Pour calculer $P(A \cap B)$ , je multiplie les probabilités le long du chemin correspondant (règle du produit).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je choisis la partition du premier niveau (par exemple

A

\overline{A}

) et je place les probabilités

P(A)

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

sur les branches.

Premier niveau : $P(M_1) = 0{,}6$ et $P(M_2) = 0{,}4$ .

Étape 2 —

Pour chaque branche du premier niveau, je place les probabilités conditionnelles au second niveau :

P_A(B)

P_A(\overline{B})

P_{\overline{A}}(B)

P_{\overline{A}}(\overline{B})

Second niveau : $P_{M_1}(D) = 0{,}05$ , $P_{M_1}(\overline{D}) = 0{,}95$ , $P_{M_2}(D) = 0{,}08$ , $P_{M_2}(\overline{D}) = 0{,}92$ .

Étape 3 —

Je vérifie que la somme des probabilités des branches issues de chaque nœud vaut

1

Vérification : $0{,}05 + 0{,}95 = 1$ ✓ et $0{,}08 + 0{,}92 = 1$ ✓.

Étape 4 —

Pour calculer

P(A \cap B)

, je multiplie les probabilités le long du chemin correspondant (règle du produit).

$P(M_1 \cap D) = P(M_1) \times P_{M_1}(D) = 0{,}6 \times 0{,}05 = 0{,}03$ .

$P(M_1 \cap D) = 0{,}03$

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