Comment construire et utiliser un… : En complétant un arbre à partir… — 1re spé maths | MetMat

Comment construire et utiliser un arbre pondéré ?

En complétant un arbre à partir d'informations partielles

Compléter un arbre pondéré dont certaines probabilités sont manquantes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On sait que $P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}45$ . Compléter l'arbre pondéré.

L'objectif

Compléter un arbre pondéré dont certaines probabilités sont manquantes.

Le principe

À chaque nœud, la somme des branches filles vaut $1$ . De plus, $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ permet de retrouver une probabilité manquante si les deux autres sont connues.

La méthode

1
Je repère les probabilités données et les probabilités manquantes dans l'arbre.
2
J'utilise la règle de complémentarité ( $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$ ou $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ ) pour compléter les branches.
3
Si une probabilité d'intersection est donnée, j'utilise $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ pour retrouver la probabilité conditionnelle manquante.
Comment calculer une probabilité conditionnelle ?Voir
4
Je vérifie la cohérence de l'arbre : somme $1$ à chaque nœud et probabilités totales cohérentes.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On sait que $P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}6$ et $P(B) = 0{,}45$ . Compléter l'arbre pondéré.

Étape 1 —

Je repère les probabilités données et les probabilités manquantes dans l'arbre.

Connus : $P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}6$ . Manquants : $P(\overline{A})$ , $P_A(\overline{B})$ , $P_{\overline{A}}(B)$ , $P_{\overline{A}}(\overline{B})$ .

Étape 2 —

J'utilise la règle de complémentarité (

P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

) pour compléter les branches.

$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$ et $P_A(\overline{B}) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$ .

Étape 3 —

Si une probabilité d'intersection est donnée, j'utilise

P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}

pour retrouver la probabilité conditionnelle manquante.

$P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$ . Or $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ , donc $P(\overline{A} \cap B) = 0{,}45 - 0{,}18 = 0{,}27$ . Ainsi $P_{\overline{A}}(B) = \dfrac{0{,}27}{0{,}7} = \dfrac{27}{70} \approx 0{,}386$ .

Étape 4 —

Je vérifie la cohérence de l'arbre : somme

1

à chaque nœud et probabilités totales cohérentes.

$P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 1 - \dfrac{27}{70} = \dfrac{43}{70} \approx 0{,}614$ . Vérification : $0{,}18 + 0{,}12 + 0{,}27 + 0{,}43 = 1$ ✓ (en arrondissant).

$P(\overline{A}) = 0{,}7$ , $P_A(\overline{B}) = 0{,}4$ , $P_{\overline{A}}(B) = \dfrac{27}{70}$ , $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \dfrac{43}{70}$

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